Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 4

Seja I = [ 0,1 ] . Verificar se são subespaços vetoriais de C ( I ) :

  1. {f in C (I)| f (0) = 0 }

  2. {f in C (I)| int_0^1 f (t) d t = 0 }

  3. {f in C (I)| f (0) = f ( 1 ) }

  4. {f in C (I)| f (t) = 0 e m t o d o s o s p o n t o s d e I m e n o s u m n ú m e r o f i n i t o d e l e s }

Passo 1

  1. {f in C (I)| f (0) = 0 }

    2. Para verificar se o conjunto acima que chamaremos de W é um subespaço vetorial de C ( I ) as 3 propriedades de subespaço vetorial precisam ser satisfeitas, belezinha?

    Então vamos lá! De cara conseguimos ver que o elemento neutro está no conjunto W , pois f (0) = 0 . Assim, falta verificar se a soma e a multiplicação estão no conjunto W .

    Vamos começar pela soma:

    Sejam f e g em W . Temos que

    (f + g) (0) = f (0) + g (0) = 0 + 0 = 0

    Logo, f + g in W .

    Falta agora verificar se a multiplicação também está em W .

    Sejam f in W e k in R . Temos que,

    (k f) (0) = k f (0) = k . 0 = 0

    Logo, k f in W .

    Beleza?

    Passo 2

  2. {f in C (I)| int_0^1 f (t) d t = 0 }

Aqui de cara conseguimos ver que o elemento neutro está no conjunto W , pois int_0^1 f (0) d t = 0 .

Assim, falta verificar se a soma e a multiplicação estão no conjunto W .

Vamos começar pela soma:

Sejam f e g em W . Temos que

(f + g) (t) = int_0^1 ( f + g ) ( t ) d t = int_0^1 f (t) d t + int_0^1 g (t) d t = 0 + 0 = 0

Logo, f + g in W .

Falta agora verificar se a multiplicação também está em W .

Sejam f in W e k in R . Temos que,

(k f) (t) = int_0^1 k f (t) d t = k int_0^1 f (t) d t = k . 0 = 0

Logo, k f in W .

Beleza?

Passo 2

  1. {f in C (I)| f (0) = f ( 1 ) }

Aqui também de cara conseguimos ver que o elemento neutro está no conjunto W , pois f (0) = f (1) .

Assim, falta verificar se a soma e a multiplicação estão no conjunto W .

Vamos começar pela soma:

Sejam f e g em W . Temos que

(f + g) (0) = f (0) + g (0) = f (1) + g (1) .

Logo, f + g in W .

Falta agora verificar se a multiplicação também está em W .

Sejam f in W e k in R . Temos que,

(k f) (0) = k (f (0)) = k ( f (1) )

Logo, k f in W .

Beleza?

Passo 3

  1. W = {f in C (I)| f (t) = 0 e m t o d o s o s p o n t o s d e I m e n o s u m n ú m e r o f i n i t o d e l e s }

Cara, observe que W = { 0 } , pois se existisse x in I de forma que f ( x ) != 0 , onde f in C [ 0,1 ] , então existiria uma vizinhança x tal que f não se anula nessa vizinhança. Sacou?

Daí, podemos dizer que W é um subespaço vetorial de C (I) .

Beleza?

Resposta

Todos são subespaços vetoriais de C (I) .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos:
Observe que:Faça o mesmo com 5,6 , 7 .
Mesma questão, com x_n + 4 = 5 x_n + 3 - 5 x_n + 2 - 5 x_n + 1 + 6 x_n .
Seja S o subconjunto das sequências ( x 0 ,x 1 , … ,x n , … ) tais que x n + 3 = 6 x n + 2 - 11 x n + 1 + 6 x n . Provar que S é subespaço vetorial dos reais infinito e encontrar uma base.
( x 0 , x 1 , … , x m , … ) tais que x n + 1 = a x n + b x n - 1 . Achar uma base de S nos casos: