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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 2.7 - Ex. 11

Sejam u e v dois vetores não nulos do R 2 . Se não existe nenhum t ∈ R tal que u = t v , mostrar que R 2 é soma direta dos subespaços [ u ] e [ v ] .

Passo 1

Bom, vamos reescrever o enunciado de uma maneira que vai ficar mais fácil de resolver essa parada aí, beleza?!

Se todo vetor v em R 2 se escreve de modo único como v = u + w , onde u ∈ U   e w ∈ W então R 2 é soma direta dos subespaços [ u ] e [ v ] . Em outras palavras, é isso que queremos provar, show? E como faremos isso?

Vamos supor que todo vetor de R 2 se escreve de modo único como a soma de um vetor de U e de um vetor de W . Daí, vale que   R 2   =   U   +   W , show de bola?

Se U   ∩   W ≠   { 0 } , existiria um vetor não nulo v   em U   ∩   W . Certo?

Como v   ∈   W e W é um subespaço, então - v   ∈   W também. Consequentemente, teríamos 0   =   0   +   0 , com 0   ∈   U e 0   ∈   W , e 0   =   v   +   ( - v ) , com v   ∈   U e - v   ∈   W .

Como v   ≠ 0 , teríamos duas escritas distintas para um mesmo vetor de R 2 .

Como isto não ocorre, temos de fato que U   ∩   W   =   { 0 } , sendo soma direta.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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