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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 61

Determinar v → tal que   v → seja ortogonal ao eixo y e u → = v → × w → , sendo u → = ( 1 ,   1 , - 1 ) e w → = ( 2 ,   1 ,   1 ) .

Passo 1

O nível começou a subir, agora temos um novo desafio pela frente. Vamos determinar v → tal que   v → seja ortogonal ao eixo y e u → = v → × w → , sendo u → = ( 1 ,   1 , - 1 ) e w → = ( 2 ,   1 ,   1 ) ? Vamos lá? Aposto que vocês conseguem!

Passo 2

Primeiro, vamos denotar nosso vetor v → como v → = ( x ,   y ,   z ) .

Prestem bastante atenção agora e guardem isso no coração, vai por mim...

Para v → ser ortogonal ao eixo dos y tem que satisfazer a seguinte fórmula: v → . j → = 0 , beleza? Fazendo esse produtinho escalar, temos:

x ,   y ,   z . 0 ,   1 ,   0 = 0 ⇒ y = 0

Passo 3

Até agora temos que v → = ( x ,   0 ,   z ) . Vamos usar a segunda condição do enunciado que nos diz que u → = v → × w → :

v → × w → = i → j → k → x 0 z 2 - 1 1 = 2 z j → - x k → - - z i → + x j → = z i → + 2 z - x j → - x k → = ( z , 2 z - x , - x )

Ao igualarmos esse resultado obtido no produto vetorial com o vetor u → = ( 1 ,   1 , - 1 ) , temos:

1 ,   1 , - 1 = ( z , 2 z - x ,   - x )

z = 1                         2 z - x = 1 x = 1                      

Portanto, v → = x ,   y ,   z = 1 ,   0 ,   1 . 😉

Resposta

v → = 1 ,   0 ,   1

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O lado do quadrado A B C D mede 2 , A C é diagonal e M é ponto médio de B C . Calcule D M → ∧ D B → .
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