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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 11.Exercício - Ex. 32

Prove que (vec u ^^ vec v) ^^ (vec u - vec v) = 2 vec v ^^ vec u .

Passo 1

O primeiro passo para demonstrar a relação é fazer a distributiva:

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec u - vec v) = vec u ^^ vec u - vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec u - vec v ^^ vec v

Passo 2

Sabemos que vec u ^^ vec u = vec v ^^ vec v = vec 0 . Assim,

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec u - vec v) = - vec u ^^ vec v + vec v ^^ vec u

Passo 3

Como o produto vetorial é anti-simétrico, temos que

- vec u ^^ vec v = vec v ^^ vec u

Assim,

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec u - vec v) = vec v ^^ vec u + vec v ^^ vec u

Portanto,

(vec u ^^ vec v) ^^ (vec u - vec v) = 2 vec v ^^ vec u

Resposta

Demonstração.

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Dado o triangulo de vértices A = (0, 1, −1), B = (−2, 0, 1) e C = (1, −2, 0), determine a medida da altura relativa ao lado BC.
Sabemos que v → = ( 2 a → + b → ) ^ ( a → - b → ) , a → = 4 , b → = 3 e o ângulo entre a → e b → mede 30 ° . Calcule | v → | .
São dados u → = 1,1 , 0 ,v → = - 1,2 , 1ew → = ( 2,0 , - 1 ) .Calcule u → ^ v →ev →^ w → . Calcule u → ^ v → ^ w →eu → ^ v → ^w → . O produto vetorial é operação associativa? Justifique sua resposta.
Calcule | u → ^ v → | , sabendo que u → = 4 , v → = 13 e u → ⋅ v → = 48 .
Sendo w → = ( u → + 2v → ) ^ ( u → + v → ) , determine o ângulo dos vetores u → e v → , sabendo que u → = v → = w → = 2 e u → ⋅ v →0 .