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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 5.3 - Ex. 13

Determinar todos os operadores lineares F do R 2 tais que F 2 = 0 (operador nulo) e que F x , y = a x + b y , c y .

Passo 1

Primeiro, o que é F 2 ? Quando falamos sobre operadores, temo que por definição

F 2 ≡ ( F ο F )

Assim tome que

F 2 x , y = F a x + b y , c y = a a x + b y + b c y , c c y

Na qual

F 2 x , y = a 2 x + a b y + b c y , c 2 y = 0,0

Ou seja

a 2 x + a b y + b c y = 0 c 2 y = 0

Assim já vemos que pela segunda equação temos que c = 0 . Além disso

a a x + b y = 0

Na qual, ou

a =   0

Ou

a x + b y = 0 → a =   - b y x

Passo 2

Então teremos que, ou nosso operador pode ser

F x , y = a x + b y , c y

Na qual a = 0 e c = 0 , temos

F x , y = ( b y , 0 )

Ou quando a =   - b y x e c = 0

F x , y = - b y + b y , 0 = ( 0,0 )

O operador nulo.

Resposta

F x , y = b y , 0

F x , y = ( 0,0 )

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