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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 3.6 - Ex. 16

Determinar a dimensão dos seguintes subespaços de M n ( R ) :

  1. Subespaço da matrizes simétricas;
  2. Subespaço das matrizes antissimétricas.
  3. Subespaço das matrizes A tais que A = 2 A t .
  4. Subespaço das matrizes de A = ( a i j ) tais que

∑ i = 1 N a i j = 0 .

Passo 1

Oie... tudo bom?

Uma forma de achar a dimensão de uma matriz de um subespaço é encontrar uma base. Vou usar como exemplo uma matriz 3 × 3 .

Passo 2

  1. A matriz vai ser:

    2. M = a b c d e f g h i

    Para essa matriz ser simétrica M i j = M j i , então b = d , c = g e f = h , ou seja, se M é simétrica ela pode ser escrita como combinação linear das matrizes:

    M = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 1 0 0 0 0 ,   0 0 0 0 0 0 0 0 1 ,   0 1 0 1 0 0 0 0 0 ,   0 0 1 0 0 0 1 0 0 ,   0 0 0 0 0 1 0 1 0

    Chamando as matrizes acima de A ,   E ,   I ,   B ,   C ,   F , nessa ordem, temos que:

    M = a A + b B + c C + e E + f F + i I

    Sendo assim, essas matrizes são L . I , e formam uma base de subespaços das matrizes simétricas. Para matrizes 3 × 3 a dimensão é 6 , para matrizes n × n a dimensão será:

    d i m = n + n 2 - n 2

    d i m = n n + 1 2

    O n é vem dos n elementos das diagonais. O n 2 - n 2 vem das n 2 - n entradas tirando as diagonais e dividindo por 2, pois a base é formada por pares.

    Passo 3

  2. O conjunto de matrizes antissimétricas e simétricas é uma soma direta. Isso quer dizer que a dimensão das antissimétricas será a dimensão das simétricas subtraído de n 2 , ou seja :

    3. d i m = n 2 - n 2 + n 2

    d i m = n n - 1 2

    Passo 4

  3. Na matriz M do item a), a condição M = 2 M t impõe as restrições:

    4. a = 2 a ,   e = 2 e ,   i = 2 i

    b = 2 d ,   c = 2 g ,   f = 2 h

    c = 2 b ,   g = 2 c ,   h = 2 f

    Isso implica que a = b = c = d = e = f = g = h = i = 0 . Ou seja, a única matriz desse subespaço é a matriz nula. Portanto sua dimensão é 0.

    Passo 5

  4. A restrição imposta por esse subespaço é que a + b + c + d + e + f + g + h + i = 0 . Ou seja, i = - ( a + … + h ) . Assim, qualquer matriz nesse subespaço é combinação das seguintes.

1 0 0 0 0 0 0 0 - 1 ,   0 1 0 0 0 0 0 0 - 1 ,   0 0 1 0 0 0 0 0 - 1 ,   0 0 0 1 0 0 0 0 - 1

0 0 0 0 1 0 0 0 - 1 ,   0 0 0 0 0 1 0 0 - 1 ,   0 0 0 0 0 0 1 0 - 1 ,   0 0 0 0 0 0 0 1 - 1

Logo a dimensão será n 2 - 1 .

Conseguimos! \o/

Resposta

  1. d i m = n n + 1 2

  2. d i m = n n - 1 2

  3. d i m = 0

  4. d i m = n 2 - 1
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