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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 29

Determinar um vetor unitário ortogonal ao vetor vec v = (2 , - 1 , 1) .

Passo 1

Nessa questão, generalizar um vetor vec a tal que vec a * vec v = 0 e |vec a| = 1 .

Passo 2

Vamos começar achando a equação com as coordenadas de vec a usando a expressão vec a * vec v = 0 :

vec a * vec v = 0

(x , y , z) * (2 , - 1 , 1) = 0

2 x - y + z = 0

y = 2 x + z

Assim, vec a = (x , 2 x + z , z) . Para não termos uma equação muito complicada, vamos atribuir um valor a um parâmetro. Nesse caso, x = 0 .

Assim, vec a = (0 , z , z)

Passo 3

Como |vec a| = 1 , temos que

sqrt((0)^2 + (z)^2 + (z)^2) = 1

0^2 + (z)^2 + z^2 = 1

2 z^2 = 1

z^2 = (1)/(2) :. z = +- (1)/(sqrt(2))

Então, os vetores possíveis para x = 0 são vec a_1 = (0 , (1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2))) e vec a_2 = (0 , - (1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2)))

Resposta

vec a_1 = (0 , (1)/(sqrt(2)) , (1)/(sqrt(2))) e vec a_2 = (0 , - (1)/(sqrt(2)) , - (1)/(sqrt(2)))

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