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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 3

  1. u →   =   ( 2,1 , - 3 ) e v →   =   ( 1,2 , 1 ) . Se w →   =   u   →   +   λ v →   , determine   λ para que   u   → e w → sejam ortogonais.
  2. Determine o coseno do ângulo que   u   → forma com v →   .

Passo 1

Fala, galerinha! Espero que estejam animados para mais uma questão. Para descobrirmos se dois vetores são ortogonais, basta tomarmos o produto escalar entre eles e igualar a zero. Então, o item a) fica da seguinte forma:

u →   ⋅ w →   = 0   ⇒ u →   ⋅ (   u   →   +   λ v →   ) = 0   ⇒   u → ⋅ u →   +   λ u → ⋅ v →   =   0   .

Substituindo os valores,

  | u → |   2 +   λ u → ⋅ v →   =   ( 4   +   1   + 9 )   +   λ (   2 ⋅ 1   +   1 ⋅ 2   +   ( - 3 ) ⋅ 1 )   =   0   ⇒   14     +   λ   =   0

  ⇒ λ   = - 14 .

Passo 2

Para o item b), precisamos apenas substituir os valores em c o s   α   =   u →   ⋅ v → | u → | | v → | . Então, vamos lá

c o s   α   =   ( 2,1 , - 3 )   ⋅ ( 1,2 , 1 ) 4 + 1 + 9   1   +   4 + 1 =   2.1   +   1.2   +   ( - 3 )   ⋅ 1 14   6   ⇒ c o s   α   =   1 84   .

Resposta

  1.   λ   = - 14 ;
  2. c o s   α   =   1 84   .

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