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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 9.Exercício - Ex. 12

Determine vec u ortogonal a ( - 3 , 0 , 1 ) tal que vec u * (1 , 4 , 5) = 24 e vec u * (- 1 , 1 , 0) = 1 .

Passo 1

A questão pede para acharmos vec u que satisfaça algumas condições. A primeira é que ele seja ortogonal ao vetor ( - 3 , 0 , 1 ) . Assim, sendo vec u = ( x , y , z ) , devemos ter

(x , y , z) * (- 3 , 0 , 1) = 0 => - 3 x + z = 0 => z = 3 x

Já a condição vec u * (1 , 4 , 5) = 24 implica

(x , y , z) * (1 , 4 , 5) = 24 => x + 4 y + 5 z = 24

Por fim, a condição vec u * (- 1 , 1 , 0) = 1 nos leva a

(x , y , z) * (- 1 , 1 , 0) = 1 => - x + y = 1

Passo 2

Temos que resolver o sistema

{[[z = 3 x],[- x + y = 1],[x + 4 y + 5 z = 24]])

Substituindo a primeira equação na terceira, obtemos o sistema:

{[[- x + y = 1],[x + 4 y + 15 x = 24]]) => {[[x - y = - 1],[16 x + 4 y = 24]])

Passo 3

Isolando x na primeira:

x = y - 1

Assim,

16 (y - 1) + 4 y = 24 => 20 y - 16 = 24 => y = 2

Portanto,

x = 2 - 1 = 1 => z = 3 * 1 = 3

Logo,

vec u = ( 1 , 2 , 3 )

Resposta

vec u = ( 1 , 2 , 3 )

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