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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.1 - Ex. 20a

Achar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas.

  1. r 1 :   x = 1 + t y = 2 + 3 t z = 4 t , para t pertencente aos reais.

r 2 : x + 1 =   y - 1 2 = z + 2 3

Passo 1

A partir das equações das retas, podemos inferir que um ponto qualquer da reta 1, P r 1 pode ser descrito como:

P r 1 = ( 1 + t ,   2 + 3 t ,   4 t )

E um ponto qualquer da reta 2, P r 2 pode ser descrito como:

P r 2 = ( - 1 + s ,   1 + 2 s ,   - 2 + 3 s )

Passo 2

P r 1 P r 2 → é o vetor que liga um ponto da reta 1 a um ponto da reta 2, ou seja, indica a interseção entre as retas.

P r 1 P r 2 →   = ( - 1 + s - 1 - t ,   1 + 2 s - 2 - 3 t ,   - 2 + 3 s - 4 t )  

P r 1 P r 2 →   = ( - 2 + s - t ,   - 1 + 2 s - 3 t ,   - 2 + 3 s - 4 t )  

Assim, temos um vetor para a reta desejada.

Passo 3

Para que a reta seja perpendicular a r1 e r2, devemos calcular os valores de s e t que fazem com que o vetor encontrado no passo anterior seja perpendicular aos vetores diretores de r1 e r2. Para isso, os produtos escalares do vetor P r 1 P r 2 → encontrado com vetores diretores de r1 e r2 devem ser iguais a 0, ou seja:

P r 1 P r 2 → ∙ V 1 = - 2 + s - t 1 + - 1 + 2 s - 3 t 3 + - 2 + 3 s - 4 t 4 = 0

P r 1 P r 2 → ∙ V 1 =   - 13 + 19 s - 2 6 t = 0

P r 1 P r 2 → ∙ V 2 = - 2 + s - t 1 + - 1 + 2 s - 3 t 2 + - 2 + 3 s - 4 t 3 = 0

P r 1 P r 2 → ∙ V 2 = - 10 + 14 s - 19 t = 0

Montando um sistema:

  - 13 + 19 s - 2 6 t = 0   - 10 + 14 s - 19 t = 0

Transformando em uma matriz e resolvendo por escalonamento:

19 - 2 6 14 - 19 13 10 → 1 - 2 6 19 14 - 19 13 19 10 → 1 - 2 6 19 0 3 19 13 19 8 19 → 1 - 2 6 19 0 1 13 19 8 3 →

1 0 0 1 13 3 8 3

Ou seja, s = 13 3 e t = 8 3 . Substituindo s e t nas equações:

P r 1 = ( 11 3 ,   10 , 32 3 )

P r 2 = ( 10 3 , 29 3 ,   11 )

P r 1 P r 2 →   = ( - 1 ,   - 1 ,   1 )  

Assim, P r 1 pode ser tomado como o ponto inicial da reta desejado e P r 1 P r 2 → é seu vetor diretor.

x =   11 3 - t y =   10 - t z =   32 3 + t

Resposta

x =   11 3 - t y =   10 - t z =   32 3 + t

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DSabendo que as retas r 1 e r 2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:a) r 1 : x = 2 m t - 3 y = 1 + 3 t z = - 4 t e r 2 : x = 2 y - 1 z = - y + 4 b) r 1 : y = m x + 3 z = x - 1 e r 2
Sabendo que as retas r 1 e r 2 são ortogonais, determinar o valor de m para os casos:a) r 1 : x = 2 m t - 3 y = 1 + 3 t z = - 4 t e r 2 : x = 2 y - 1 z = - y + 4 b) r 1 : y = m x + 3 z = x - 1 e r 2 :
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é, simultaneamente, ortogonal às retas r 1 e r 2 , nos casos: a) A 3,2 , - 1 r 1 : x = 3 y = - 1 e r 2 : y = x - 3 z = - 2 x + 3 b) A 0,0 , 0
17. Na reta r : y = 2 x + 3 z = x - 1 , determinar o ponto de:b) Abscissa igual ao dobro da cota;
18. Representar graficamente as retas de equações:g) x = 3 y = - 4