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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 21

Determine o centro e o raio da circunferência

x^2 + y^2 + z^(2 ) - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0

⎨ x + y - z + 1 = 0

Passo 1

Já sabemos o que tem que ser feito. Temos que escrever a equação da superfície esférica em sua forma reduzida. Vamos lá:

x^2 + y^2 + z^(2 ) - 2 x + 4 y - 6 z + 5 = 0

=> x^2 - 2 x + y^2 + 4 y + z^(2 ) - 6 z + 5 = 0 ( s o m a n d o e s u b t r a i n d o 1 , 4 e 9 )

=> x^2 - 2 x + 1 - 1 + y^2 + 4 y + 4 - 4 + z^(2 ) - 6 z + 9 - 9 + 5 = 0

=> ( x^() - 1 )^2 - 1 + ( y^() + 2 )^(2 ) - 4 + ( z^() - 3 )^2 - 9 + 5 = 0

=> ( x^() - 1 )^2 + ( y^() + 2 )^(2 ) + ( z^() - 3 )^2 = 9

Assim, achamos o centro C = ( 1 , - 2,3 ) e o raio r = 3 .

Passo 2

Surgirá uma circunferência devido a interseção do plano x + y - z + 1 = 0 e a superfície esférica de centro C = ( 1 , - 2,3 ) . E, precisamos achar o raio r ' e o centro C ' dessa circunferência.

Para o raio r ' podemos utilizar Pitágoras no triângulo formado pelo seguinte d ( C , pi ) e o raio que liga o centro C e o ponto de interseção. Então, vamos começar determinando d ( C , pi ) :

d ( C , pi ) = (| 1 * 1 + 1 * ( - 2 ) - 1 * 3 + 1 |)/(sqrt(1 + 1 + 1)) = (| 1 - 2 - 3 + 1 |)/(sqrt(3)) = sqrt(3) .

Logo,

d ( C , pi )^2 + r '^2 = r^2 => ( sqrt(3) )^(2 ) + r '^(2 ) = ( 3 )^2 => r ' = sqrt(6) .

Passo 3

Para finalizar, precisamos do ponto C ' . Para achá-lo, vamos utilizar uma reta perpendicular ao plano pi que passa pelos pontos C e C ' . Assumimos C = ( 1 , - 2,3 ) como o ponto inicial e o seu vetor diretor vec v = ( x , y , z ) sendo paralelo ao vetor normal vec n = ( 1,1 , - 1 ) do plano pi . Temos:

vec v = alpha vec n => ( x , y , z ) = alpha ( 1,1 , - 1 )

e a equação de um ponto da reta será:

( 1 + alpha , - 2 + alpha , 3 - alpha )

Agora, basta substituir em x + y - z + 1 = 0 para saber qual o valor de alpha nos fornece a interseção:

1 + alpha + ( - 2 + alpha ) - ( 3 - alpha ) + 1 = 0

=> 1 + alpha - 2 + alpha - 3 + alpha + 1 = 0

=> 3 alpha = 3

=> alpha = 1

Então, C ' = ( 1 + 1 , - 2 + 1,3 - 1 ) = ( 2 , - 1 , 2 ) .

Resposta

C ' = ( 2 , - 1 , 2 ) e r ' = sqrt(6)

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