Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 10a
Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.
(a) Lugar geométrico dos pontos de tais que , sendo que e a origem do sistema de coordenadas.
Passo 1
Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.
Primeiro temos que lembrar da fórmula para a distância entre dois pontos:
Então tá, já que os nossos pontos são:
Aquelas duas distâncias que foram dadas no enunciado são:
E a outra é:
Passo 2
Beleza, agora vamos ver a condição que o enunciado deu:
Substituindo as fórmulas:
Elevando os dois lados ao quadrado:
Abrindo aquele último produto notável:
Arrumando um pouco:
Agora vamos dividir tudo por :
Ok, mas ainda não está fácil de descobrir o centro e o raio.
Passo 3
O primeiro passo é usar a técnica de completar quadrados:
Dê uma olhada nos termos que dependem de :
Isso é muito parecido com:
Então vamos somar nos dois lados da equação:
Então:
Arrumando um pouco mais:
Passo 4
E agora já dá pra encontrar o centro e o raio da esfera.
Lembrando que se uma esfera tem centro e raio , a equação é:
Então, olhando para a equação:
Podemos ver que:
E o raio é:
Resposta
O centro da esfera é e o raio é .