Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 10b
Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.
(a) Lugar geométrico dos pontos de tais que e estejam na razão , sendo e .
Passo 1
Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.
Primeiro temos que lembrar da fórmula para a distância entre dois pontos:
Então tá, já que os nossos pontos são:
Aquelas duas distâncias que foram dadas no enunciado são:
E a outra é:
Passo 2
O enunciado disse que as duas distâncias têm que estar na proporção , então:
Então:
Substituindo as fórmulas:
E elevando os dois lados ao quadrado:
Agora vamos abrir todos esses parênteses. Começando pelo termo do lado esquerdo:
E o termo do lado direito:
Igualando os dois lados:
Agora vamos multiplicar tudo:
Subtraindo dos dois lados:
Agora vamos juntar alguns temos:
E dividindo tudo por :
Passo 3
Ok, já simplificamos bastante. Mas para conseguir encontrar o centro e o raio, ainda precisamos melhorar essa fórmula.
Vamos usar o método de completar quadrados. Por sorte todos os termos são muito parecidos:
Por exemplo:
Então somando dos dois lados:
E fazendo a mesma coisa pra o , vamos somar dos dois lados mais uma vez:
E no caso do , vamos usar essa relação aqui:
Então temos que somar de novo:
Bem melhor!
Passo 4
E agora já dá pra encontrar o centro e o raio da esfera.
Lembrando que se uma esfera tem centro e raio , a equação é:
Então, olhando para a equação:
Podemos ver que:
E o raio é:
Resposta
O centro da esfera é e o raio é .