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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 5

Determine a superfície esférica de menor área, tangente aos três planos coordenados e passando pelo ponto P =   ( 1 ,   - 5 ,   - 4 ) .

Passo 1

Fala pessoal, estudando esse capítulo aprendemos que os três planos coordenados são:

π 1 :   x   =   0 ; π 2 :   y   =   0 e π 3 :   z   =   0

Então, para o centro da esfera no ponto C   = ( x 0 , y 0 , z 0 ) , temos a seguinte relação:

d ( C , π 1 ) = d ( C , π 2 )   =   d ( C , π 3 )   =   r ,

onde r é a distância do raio da esfera ao plano π .

Agora, basta relembrar da equação da distância de um ponto ao plano que é dada por:

d ( P , π )   =   | a x 0   +   b y 0   +   c z 0   +   d | a 2   +   b 2   +   c 2   =   r

Pronto, agora já sabem que precisamos apenas de algumas substituições:

r   =   | a ⋅ x 0   +   0 ⋅ b   +   0 ⋅ c   +   0 | a 2   + 0 + 0   =   | b ⋅ y 0 | b 2     =   | c   ⋅ z 0 |   c 2   ⇒   r   =   | a ⋅ x 0 | a   = | b ⋅ y 0 | b   =   | c   ⋅ z 0 | c  

⇒   r   =   | x 0 |   =   | y 0 |   = | z 0 |  

A equação acima é válida, em módulo. Contudo, todavia, entretanto, é conveniente saber o sinal de x 0 , y 0 , z 0 . A sacada pra saber esse sinal é olhar para o ponto que está contido na esfera P =   ( 1 ,   - 5 ,   - 4 ) . Nesse caso, vemos que

x > 0 ,   y < 0 ,   z < 0

Então, naturalmente, teremos

x 0 > 0 ,   y 0 < 0 ,   z 0 < 0

Passo 2

Agora que sabemos o sinal das coordenadas do centro, vemos que a equação da esfera toma a forma:

r 2   =   ( x - x 0 ) 2   +   ( y + y 0 ) 2   + ( z + z 0 ) 2

Usando o resultado   r   =   | x 0 |   =   | y 0 |   = | z 0 | do passo anterior e o ponto P =   ( 1 ,   - 5 ,   - 4 ) , ficamos com

r 2   =   ( 1 - r ) 2   +   ( - 5 + r ) 2   + ( - 4 + r ) 2

r 2   =   1 - 2 r + r 2   +   r 2 - 10 r + 25 + r 2 - 8 r + 16

r 2   =   42 - 20   r + 3 r 2

⇒ 2 r 2   - 20   r +   42 = 0

⇒ r = 20 ± 400 - 336 4 = 20 ± 64 4 = 20 ± 8 4 = 5 ± 2

⇒ r = 7 ,   r = 3

Ok, encontramos duas esferas possíveis, com raios r = 7 ,   r = 3 . Mas lembra que o enunciado quer a menor possível? Então a escolhida será   r = 3 , com centro em C   = ( 3 , - 3 , - 3 ) e equação da esfera se torna:

9   =   ( x - 3 ) 2   +   ( y + 3 ) 2   + ( z + 3 ) 2

Resposta

9   =   ( x - 3 ) 2   +   ( y + 3 ) 2   + ( z + 3 ) 2

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