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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 1

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta

y   =   2 x   - 3

⎨ z   =   x   - 1 e que passa pelos pontos A =   ( 3,6 , - 1 ) e B =   ( 5,0 , 7 ) .

Passo 1

Fala pessoal, vamos começar a questão ao definirmos que a nossa esfera possui um centro C =   ( a , b , c ) e ao usarmos a ideia de que a medida de distância entre um ponto qualquer P =   ( x , y , z ) , em sua superfície, e o centro da espera vai ser da por:

d ( C , P )   2 = r 2   =   ( x - a ) 2   +   ( y - b ) 2   + ( z - c ) 2 .

Então, podemos assumir que d ( C , A )   =   d ( C , B ) porque os pontos A e B estão na superfície da esfera. Daí, vem que

( 3 - a ) 2   +   ( 6 - b ) 2   + ( - 1 - c ) 2   =   ( 5 - a ) 2   +   ( 0 - b ) 2   + ( 7 - c ) 2

⇒ 9 - 6 a + a 2 + 36 - 12 b + b 2 + 1 + 2 c + c 2 = 25 - 10 a + a 2 + b 2 + 49 - 14 c + c 2

⇒ - 6 a - 12 b + 2 c + 10 a + 14 c = 74 - 46

⇒ 4 a - 12 b + 16 c = 28

⇒ a - 3 b + 4 c = 7

Passo 2

Agora, vamos utilizar a informação de que a reta passa pelo centro da esfera. Para isso acontecer, os valores que x ,   y e z devem assumir são os do ponto C   = ( a , b , c ) . Logo, ficamos com o seguinte sistema:

b   =   2 a   - 3

c   =   a   - 1

Trazendo a equação do passo anterior e substituindo os valores acima vamos verificar qual o valor de a . Assim,

a - 3 ⋅   ( 2 a   - 3 ) + 4 ⋅   ( a   - 1 ) = 7   ⇒   a   - 6 a   +   4 a   =   7   - 9   +   4   ⇒   a   =   - 2

Para finalizar, precisamos substituir o valor de   a   =   - 2 para acharmos quem é b e c . Logo,

b   = 2 ⋅ ( - 2 )   - 3   =   - 7   e c   = - 2 - 3   =   - 3

Portanto, o centro da esfera é no ponto C   = ( - 2 , - 7 , - 3 ) e a equação da superfície esférica será dado por:

( x +   2 ) 2   +   ( y + 7 ) 2   + ( z + 3 ) 2   =   r 2

e, para finalizar, buscaremos o valor de r 2 pela seguinte relação:

r 2     =   d ( C ,   B )   2 =   ( 5 +   2 ) 2   +   ( 0 + 7 ) 2   + ( 7 + 3 ) 2   =   49   +   49   + 100   =   198

Resposta

( x +   2 ) 2   +   ( y + 7 ) 2   + ( z + 3 ) 2   =   198

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