Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.

(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos eixos coordenados seja 30 .

Passo 1

Vamos tentar resolver esse problema só usando um pouco de álgebra.

Como se calcula a distância de um ponto X = x , y , z até um eixo coordenado? Vamos fazer um desenho para entender:

Ok, então temos essas três fórmulas, todas encontradas usando o teorema de Pitágoras.

Passo 2

O enunciado pediu que a soma dos quadrados dessas distâncias seja 30 , então:

d x 2 + d y 2 + d z 2 = 30

Substituindo com as fórmulas:

y 2 + z 2 2 + x 2 + z 2 2 + x 2 + y 2 2 = 30

Tirando essas raízes quadradas:

y 2 + z 2 + x 2 + z 2 + x 2 + y 2 = 30

E arrumando um pouco:

2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 = 30

E dividindo tudo por 2 :

x 2 + y 2 + z 2 = 15

Passo 3

Ok, já simplificamos bastante. Agora já dá pra encontrar o centro e o raio da esfera.

Lembrando que se uma esfera tem centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio r , a equação é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = r 2

Então, olhando para a equação:

x 2 + y 2 + z 2 = 15

Podemos ver que:

C = 0,0 , 0

E o raio é:

r = 15

Resposta

O centro da esfera é C = 0,0 , 0 e o raio é r = 15 .

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