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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 48

Determine o centro e o raio da circunferência interseção do plano π : 2 x - 2 y - z + 9 = 0 com a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z - 86 = 0 .

Passo 1

Bom, nosso primeiro passo para descobrir o centro é transformar a equação geral da superfície esférica para a equação reduzida. Com isto, vamos conseguir identificar facilmente as suas coordenadas do centro e do raio. Portanto,

S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 2 z - 86 = 0

S : x 2 - 6 x + y 2 + 4 y + z 2 - 2 z - 86 = 0

S : x 2 - 6 x + 9 - 9 + y 2 + 4 y + 4 - 4 + z 2 - 2 z + 1 - 1 - 86 = 0

S : x - 3 2 + y + 2 2 + z - 1 2 = 10 0

Portanto, a superfície tem centro C = 3 , - 2,1 e raio ρ = 100 = 10 .

Passo 2

Certo, mas qual o motivo de determinarmos o centro da superfície e o seu raio?

Para descobrimos a coordenas do centro da circunferência, precisamos construir uma reta r que passa pelo ponto C e tem vetor diretor o vetor normal ao plano π n → = 2 , - 2 , - 1 . Portanto,

r : X = 3 , - 2 , 1 + λ 2 , - 2 , - 1

r : X = 3 + 2 λ , - 2 - 2 λ , 1 - λ

Agora, vamos obter a interseção desta reta com o plano. Substituindo as coordenadas do ponto X ∈ r na equação do plano, temos:

2 x - 2 y - z + 9 = 0

2 ⋅ 3 + 2 λ - 2 ⋅ - 2 - 2 λ - 1 - λ + 9 = 0

6 + 4 λ + 4 + 4 λ - 1 + λ + 9 = 0

9 λ = - 18

λ = - 2

Portanto, o ponto X = 3 - 4 , - 2 + 4 , 1 + 2 = - 1,2 , 3 será o centro da circunferência Γ .

Passo 3

Para finalizarmos a questão, vamos calcular o raio σ da circunferência. Para isto, usamos a seguinte expressão:

σ = ρ 2 - d 2 C , π

Só nos resta calcular esta distância do centro C ao plano π . Portanto,

d C , π = 2 ⋅ 3 - 2 ⋅ - 2 - 1 + 9 2 2 + - 2 2 + - 1 2

d C , π = 6 + 4 - 1 + 9 4 + 4 + 1 = 18 3 = 6

Portanto,

σ = 10 2 - 6 2 = 100 - 36 = 64 = 8

Resposta

O centro da circunferência é X = - 1,2 , 3 e o seu raio σ = 8 .

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Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência Γ e tem raio ρ . Γ : x + 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 10 x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ρ = 5 Γ : x - 5 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 14 x +
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