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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 55a

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência Γ e tem raio ρ .

  1. Γ : x + 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 10 x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ρ = 5
  2. Γ : x - 5 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 14 x + y - z = 0 ρ = 2

Passo 1

Precisamos encontrar uma equação reduzida de uma superfície esférica. Esta equação possui o seguinte formato:

S : x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

Nosso trabalho será descobrir o centro, visto que o raio já nos foi dado pela questão.

Para descobrirmos o centro, precisamos construir uma reta r que passa pelo ponto C 1 = - 3 , - 1 , 1 , centro da superfície esférica dada na questão, e tem vetor diretor o vetor normal ao plano π n → = 1 , - 2 , 2 , também dado na questão.

Portanto, a reta r é dada por:

r : X = - 3 , - 1 , 1 + λ 1 , - 2 , 2

r : X = - 3 + λ , - 1 - 2 λ , 1 + 2 λ

Passo 2

Pronto, já sabemos que o centro da nova superfície pertence a esta reta. Só que nos falta informações para encontra-los.

Esta informação será a distância do ponto ao plano π dado na questão. Precisamos deste dado para determinar o raio σ da circunferência Γ . Este raio é expresso por:

σ = ρ 2 - d 2 C , π

Então, precisamos primeiro descobrir o valor de σ para o raio ρ = 10 da superfície esférica original da questão.

Depois, vamos descobrir qual é o valor da distância do centro X da superfície esférica que estamos buscando identificar.

Então, vamos calcular o raio σ . Para isto, vamos calcular d C , π . Portanto,

d C , π = - 3 - 2 - 1 + 2 1 - 4 1 2 + - 2 2 + 2 2

d C , π = - 3 + 2 + 2 - 4 1 + 4 + 4 = 3 3 = 1

Portanto, o raio será

σ = 10 2 - 1 2 = 9 = 3

Agora, vamos fazer o caminho inverso. Sabemos que σ = 3 e ρ = 5 . Queremos saber qual o valor de d X , π . Logo,

d X , π = ρ 2 - σ 2

d X , π = 25 - 9 = 16 = 4

Passo 3

Para finalizarmos a questão, basta encontrarmos qual o valor de λ , e consequentemente o ponto X ∈ r tal que:

d X , π = 4

Desenvolvendo esta relação, temos:

d C , π = - 3 + λ - 2 - 1 - 2 λ + 2 1 + 2 λ - 4 1 2 + - 2 2 + 2 2 = 4

- 3 + λ + 2 + 4 λ + 2 + 4 λ - 4 1 + 4 + 4 = 4

9 λ - 3 = 4 ⋅ 9

9 λ - 3 = 12

Ou simplesmente,

9 λ - 3 = ± 12

Resolvendo, obtemos duas soluções λ = 5 / 3 ou λ = - 1 .

Para λ = 5 / 3 , obtemos X = - 4 3 , - 13 3 , 13 3 . Portanto, temos a seguinte superfície:

S 1 : x + 4 3 2 + y + 13 3 2 + z - 13 3 2 = 25

Já para λ = - 1 , obtemos X = - 4 , 1 , - 1 . Portanto, temos a seguinte superfície:

S 2 : x + 4 2 + y - 1 2 + z + 1 2 = 25

E assim finalizamos a questão.

Resposta

S 1 : x + 4 3 2 + y + 13 3 2 + z - 13 3 2 = 25

S 2 : x + 4 2 + y - 1 2 + z + 1 2 = 25

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