Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 44
Obtenha uma equação geral do plano que contém os pontos e e tangencia a superfície esférica .
Passo 1
Para resolvermos esta questão, precisamos obter algumas relações entre as variáveis da equação genérica do plano . Isto, precisamos reduzir o número de variáveis deste plano.
Para isto, vamos utilizar os dois pontos dados. Como eles pertencem ao plano, eles satisfazem a sua equação. Então, vamos pegar os pontos, substituir na equação do plano e assim reduzir o número de variáveis.
Desta forma, substituindo na equação do plano , obtemos o seguinte sistema:
Subtraindo a segunda equação da primeira, obteremos:
Da segunda equação obtemos que . Substituindo na primeira, teremos:
Portanto, o nosso plano é dado por:
Agora sim, já conseguimos trabalhar com o nosso plano. Nosso trabalho agora é descobrir quais valores de e que satisfazem a condição do plano ser tangente a superfície.
Passo 2
Vamos agora colocar a nossa superfície esférica na sua forma reduzida para obtermos o seu centro e raio. Portanto,
E para que esta relação seja satisfeita, sabemos automaticamente que, seja o centro da nossa superfície esférica e seu raio, temos:
Basta resolvermos esta equação acima.
Passo 3
Para resolvermos a relação descrita no passo 1, vamos ter de calcular a distância do centro da superfície até o plano . Portanto,
Agora, só resolvermos a seguinte equação:
Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos a raiz e o módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,
Portanto, temos duas soluções. Ou ou .
Para a primeira solução, teremos o seguinte plano.
Colocando o em evidência e passando dividindo para o segundo membro, pois ele é diferente de zero, obtemos:
Já para a segunda solução, teremos o seguinte plano.
Colocando o em evidência e passando dividindo para o segundo membro, pois ele é diferente de zero, obtemos: