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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 55b

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência Γ e tem raio ρ .

  1. Γ : x + 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 10 x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ρ = 5
  2. Γ : x - 5 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 14 x + y - z = 0 ρ = 2

Passo 1

Precisamos encontrar uma equação reduzida de uma superfície esférica. Esta equação possui o seguinte formato:

S : x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

Nosso trabalho será descobrir o centro, visto que o raio já nos foi dado pela questão.

Para descobrirmos o centro, precisamos construir uma reta r que passa pelo ponto C 1 = 5 , 2 , 1 , centro da superfície esférica dada na questão, e tem vetor diretor o vetor normal ao plano π n → = 1 , 1 , - 1 , também dado na questão.

Portanto, a reta r é dada por:

r : X = 5 , 2 , 1 + λ 1 , 1 , - 1

r : X = 5 + λ , 2 + λ , 1 - λ

Passo 2

Pronto, já sabemos que o centro da nova superfície pertence a esta reta. Só que nos falta informações para encontra-los.

Esta informação será a distância do ponto ao plano π dado na questão. Precisamos deste dado para determinar o raio σ da circunferência Γ . Este raio é expresso por:

σ = ρ 2 - d 2 C , π

Então, precisamos primeiro descobrir o valor de σ para o raio ρ = 14 da superfície esférica original da questão.

Depois, vamos descobrir qual é o valor da distância do centro X da superfície esférica que estamos buscando identificar.

Então, vamos calcular o raio σ . Para isto, vamos calcular d C , π . Portanto,

d C , π = 5 + 2 - 1 1 2 + 1 2 + - 1 2

d C , π = 6 1 + 1 + 1 = 6 3 = 2 3

Portanto, o raio será

σ = 1 4 2 - 2 3 2 = 14 - 12 = 2

Agora, vamos fazer o caminho inverso. Sabemos que σ = 2 e ρ = 2 . Queremos saber qual o valor de d X , π . Logo,

d X , π = ρ 2 - σ 2

d X , π = 2 - 2 = 0

Passo 3

Vamos interpretar agora o resultado obtido:

d X , π = 0

Isto só ocorre se o ponto X ∈ π . Isto é, o centro da superfície esférica é o centro da circunferência! Então, vamos fazer a interseção da reta r com o plano π e descobrir qual é este centro. Portanto,

x + y - z = 0

5 + λ + 2 + λ - 1 - λ = 0

3 λ + 6 = 0

λ = - 2

Desta forma, para λ = - 2 , obtemos X = 3 , 0 , 3 . Portanto, temos a seguinte superfície:

S : x - 3 2 + y 2 + z - 3 2 = 2

Resposta

S : x - 3 2 + y 2 + z - 3 2 = 2

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Dê as equações dos planos que passam pelo eixo O x e são tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 10 y + 16 = 0 .
Determine uma equação da superfície esférica tangente ao plano x + y + z - 1 = 0 no ponto T = 1,1 , - 1 , sabendo que o seu centro está no plano 3 x - y - z + 3 = 0 .
Determine uma equação da superfície esférica que passa pelo ponto A = ( - 1,2 , 1 ) e tangencia o plano x - y + z - 2 = 0 no ponto T = - 1 , 0 , 3 .
Ache uma equação da superfície esférica que tangencia o plano x + y + 2 z - 4 = 0 no ponto A = ( 2,0 , 1 ) e cujo centro pertence ao plano x + y + z + 1 = 0
Ache a superfície esférica tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sabendo-se que P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto da superfície esférica.