Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência Γ e tem raio ρ . Γ : x + 3 2 + y + 1 2 + z - 1 2 = 10 x - 2 y + 2 z - 4 = 0 ρ = 5 Γ : x - 5 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 14 x + y - z = 0 ρ = 2

S : x - 3 2 + y 2 + z - 3 2 = 2

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 55b

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que contém a circunferência e tem raio .

Passo 1

Precisamos encontrar uma equação reduzida de uma superfície esférica. Esta equação possui o seguinte formato:

Nosso trabalho será descobrir o centro, visto que o raio já nos foi dado pela questão.

Para descobrirmos o centro, precisamos construir uma reta que passa pelo ponto , centro da superfície esférica dada na questão, e tem vetor diretor o vetor normal ao plano , também dado na questão.

Portanto, a reta é dada por:

Passo 2

Pronto, já sabemos que o centro da nova superfície pertence a esta reta. Só que nos falta informações para encontra-los.

Esta informação será a distância do ponto ao plano dado na questão. Precisamos deste dado para determinar o raio da circunferência . Este raio é expresso por:

Então, precisamos primeiro descobrir o valor de para o raio da superfície esférica original da questão.

Depois, vamos descobrir qual é o valor da distância do centro da superfície esférica que estamos buscando identificar.

Então, vamos calcular o raio . Para isto, vamos calcular . Portanto,

Portanto, o raio será

Agora, vamos fazer o caminho inverso. Sabemos que e . Queremos saber qual o valor de . Logo,

Passo 3

Vamos interpretar agora o resultado obtido:

Isto só ocorre se o ponto . Isto é, o centro da superfície esférica é o centro da circunferência! Então, vamos fazer a interseção da reta com o plano e descobrir qual é este centro. Portanto,

Desta forma, para , obtemos . Portanto, temos a seguinte superfície:

Resposta

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Dê as equações dos planos que passam pelo eixo O x e são tangentes à superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 - 10 y + 16 = 0 .

Determine uma equação da superfície esférica tangente ao plano x + y + z - 1 = 0 no ponto T = 1,1 , - 1 , sabendo que o seu centro está no plano 3 x - y - z + 3 = 0 .

Determine uma equação da superfície esférica que passa pelo ponto A = ( - 1,2 , 1 ) e tangencia o plano x - y + z - 2 = 0 no ponto T = - 1 , 0 , 3 .

Ache uma equação da superfície esférica que tangencia o plano x + y + 2 z - 4 = 0 no ponto A = ( 2,0 , 1 ) e cujo centro pertence ao plano x + y + z + 1 = 0

Ache a superfície esférica tangente aos planos 2 x + 2 y + z - 6 = 0 e 2 x + 2 y + z + 12 = 0 , sabendo-se que P = ( 1,2 , 0 ) é um ponto da superfície esférica.