Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 41a
Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos e , sabendo que é um dos pontos de tangência.
Passo 1
Primeiro, percebam que o ponto satisfaz a equação do plano . Portanto, este ponto pertence ao plano.
Então, sabemos que a esfera tangencia o plano e também sabemos qual o ponto de tangência! A sacada para resolvermos a questão é construirmos uma reta normal ao plano no ponto . Portanto, seja o vetor normal ao plano , a reta será:
Portanto, qualquer ponto desta reta terá coordenadas . Certo, mas qual o motivo disto ser a sacada da questão?
A resposta desta pergunta é que, algum ponto desta reta será o centro da esfera! Portanto, existe algum que faça o ser o centro da reta!
E com este ponto , podemos fazer ! Temos então que resolver estas relações de distâncias agora!
Passo 2
Vamos agora obter as relações de distâncias. Começando pela distância de até o ponto . Percebam que será a mesma coisa que fazer a distância de até o plano . Portanto,
Agora, vamos fazer distância do ponto até o plano . Portanto,
Agora, só resolvermos a seguinte equação:
Ou também, para facilitarmos as nossas vidas e retirarmos esta raiz e módulo, vamos elevar ao quadrado. Logo,
Resolvendo este sistema, obtemos . Percebam que obtemos duas possibilidades, a depender do sinal positivo e negativo.
Começando pelo sinal positivo, temos . Com isto, temos o centro e o raio será:
Portanto, a primeira superfície será:
Começando pelo sinal positivo, temos . Com isto, temos o centro e o raio será:
Portanto, a segunda superfície será:
OBS: poderíamos ter escrito a equação geral da superfície, mas como a questão não explicitou, foi resolvida na forma reduzida! Para conseguir a forma geral, basta expandir os quadrados.