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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 22

Determine o centro e o raio da circunferência, interseção do plano 2 x   - y   + 3 z   -   3   =   0 com a superfície x 2   +   y 2   + z 2   - 2 y   - 2 z   - 2   =   0 .

Passo 1

E aí, galera! Essa questão segue o mesmo molde da 20 e 21 e vamos começar escrevendo a equação da superfície esférica em sua forma reduzida:

x 2   +   y 2   + z 2   - 2 y   - 2 z   - 2   =   0

⇒ x 2   +   y 2   - 2 y + 1 - 1 + z 2   - 2 z + 1 - 1   - 2   =   0   ( s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   1   d u a s   v e z e s )

⇒ x 2   + ( y - 1 ) 2   + ( z - 1 ) 2 =   4

Ou seja, temos o centro em C   =   ( 0,1 , 1 ) e o raio da esfera é r   =   2 .

Já sabemos que surgirá uma circunferência devido a interseção do plano 2 x   - y   + 3 z   -   3   =   0 e a superfície esférica de centro C   = ( 0,1 , 1 ) . E, precisamos achar o raio r ' e o centro C ' dessa circunferência.

Para o raio r ' podemos utilizar Pitágoras no triângulo formado pelo seguinte d ( C , π ) e o raio que liga o centro C e o ponto de interseção. Então, vamos começar determinando d ( C , π ) :

d ( C ,   π )   =   | 2 ⋅ 0   - 1 ⋅ 1   + 3 ⋅ 1   - 3 | 4 + 1 + 9   =   | - 1 | 14   = 1 14 .

Logo,

d ( C ,   π ) 2   +   r ' 2   =   r 2   ⇒   ( 1 14 ) 2     +   r ' 2     =   ( 2 ) 2   ⇒   r '   = 4 - 1 14   = 55 14   .

Passo 2

Por fim, precisamos do ponto C ' . Para achá-lo, vamos utilizar uma reta que passa pelos pontos C e C ' . Assumindo que C   = ( 0,1 , 1 ) é o ponto inicial e o vetor diretor v →   =   ( x , y , z ) é paralelo ao vetor normal n →   =   ( 2 , - 1,3 ) do plano π . Logo:

v →     = α   n →       ⇒ ( x , y , z )   =   α ( 2 , - 1,3 )

e a equação da reta será:

( 2 α , 1   - α , 1 + 3 α )

Agora, basta substituir em 2 x   - y   + 3 z   -   3   =   0 para saber qual o valor de α nos fornece a interseção:

2 ⋅ 2 α   - ( 1   - α )   + 3 ⋅ ( 1 + 3 α )   -   3   =   0

⇒ 4 α   - 1     + α + 3   + 9 α   - 3   =   0  

⇒   14 α   =   1

⇒   α   = 1 14

Então, C '   = ( 2 ⋅ 1 14 , 1   - 1 14 , 1 + 3 ⋅ 1 14 )   =   ( 2 14 , 13 14 , 17 14 ) .

Resposta

( 2 14 , 13 14 , 17 14 ) e 55 14

Exercícios de Livros Relacionados

Identificar as quádricas representadas pelas equações x 2 + y 2 + z 2 = 25
Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:Centro C ( 2 ,- 3 ,1 ) e raio 4 .
Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:d) Centro C ( - 2 , 3 ,4 ) e tangente ao eixo dos z.
Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:c) Centro C ( 4 , - 1 , - 2 ) e tangente ao plano x O y .
Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:e) Centro C ( 0 , - 4 ,3 ) e tangente ao plano de equação: x + 2 y - 2 z - 2 = 0