Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:

Centro C ( 2 ,   - 3 ,   1 ) e raio 4 .

Passo 1

Nessa questão, devemos montar a equação da esfera seguindo condições no enundiado.

A equação da esfera é dada na forma:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 = R 2

Os parâmetros dessa equação são:

  • ( x c ,   y c ,   z c ) são as coordenadas do Centro.
  • R é o raio

Achando a equação da esfera, a gente finaliza abrindo os quadrados para a forma expandida.

Passo 2

Vamos definir quais são os parâmetros ( x c ,   y c ,   z c ) .

Como o centro, dado no enunciado, é C ( 2 ,   - 3 ,   1 ) , então

( x c ,   y c ,   z c ) = ( 2 ,   - 3 ,   1 )

x c = 2 y c = - 3 z c = 1

Passo 3

Como o enunciado já nos deu o valor do raio, então R = 4 .

Passo 4

Agora, vamos pegar cada um dos fatores e montar a nossa equação de acordo com o modelo:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 = R 2

x - 2 2 + y - ( - 3 ) 2 + z - 1 2 = 4 2

x - 2 2 + y + 3 2 + z - 1 2 = 16

Passo 5

Por fim, vamos abrir os quadrados para termos a equação da forma expandida.

x - 2 2 + y + 3 2 + z - 1 2 = 16

x 2 - 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 + z 2 - 2 z + 1 - 16 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z + 4 + 9 + 1 - 16 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 6 y - 2 z - 2 = 0

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