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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 8

Escreva as equações dos planos tangentes à superfície esférica x 2   +   y 2 + z 2   - 2 x   - 5   = 0 e que são perpendiculares à reta x - 1 2   = y   = z - 1 .

Passo 1

Já estamos familiarizados com esse tipo de questão e, o primeiro passo, é escrever a equação esférica em sua forma reduzida e encontrar o ponto de seu centro para começar. Vamos lá:

x 2   - 2 x + 1 - 1 +   y 2 + z 2   - 5   = 0   ( s o m a n d o   e   s u b t r a i n d o   1 )

⇒ ( x   - 1 ) 2 +   y 2 + z 2     =   6

Com isso temos que C   =   ( 1,0 , 0 ) é o ponto que localiza o centro da esfera.

Outra coisa que precisamos fazer é parametrizar a equação da reta: R :   ( 2 λ   +   1 ,   λ ,   λ + 1 ) e partir dessa informação para determinar o vetor diretor da reta:   v R →   =   ( 2,1 , 1 ) .

Passo 2

Agora, precisamos achar as duas equações dos planos que são tangentes à esfera. Ou seja,

π 1   :   a 1 x   + b 1 y   +   c 1 z   +   d 1   =   0

π 2   :   a 2 x   + b 2 y   +   c 2 z   +   d 2   =   0

são os planos a serem determinados e n 1 →   : ( a 1 , b 1   , c 1 ) e n 2 →   : ( a 2 , b 2   , c 2 ) são seus respectivos vetores normais.

Podemos nos valer do fato de que os vetores normais são paralelos entre si: n 1 →   =   k n 2 → (já que os dois são perpendiculares a reta)e não há alguma restrição que nos impeça de assumir k   =   1 . Ou seja, n 1 →   =   n 2 → =   ( a , b   , c ) . Logo:

π 1   :   a x   + b y   +   c z   +   d 1   =   0

π 2   :   a x   + b y   +   c z   +   d 2   =   0

Agora, utilizaremos a condição de perpendicularidade entre a reta R e os planos. Sendo assim, temos que os vetores normais são paralelos ao vetor diretor da reta. Daí,

n →   =   β v R →   ⇒   ( a , b   , c )   =   β ( 2,1 , 1 )   ⇒     a   =   2 β ;     b   =   c = β

Então, n →     =   β ( 2,1   , 1 ) .

Outro ponto importante é que dado um ponto P   =   ( x , y , z ) pertencente ao plano e a esfera, é possível construir um vetor C P →   =   P   - C entre o ponto P e o centro C da esfera.

C P →   =   P   - C   =   ( x , y , z )   - ( 1,0 , 0 )   =   ( x - 1 , y , z )

Como C P → é perpendicular ao plano e no mesmo sentido do seu vetor normal. Podemos assumir sua equivalência C P →   =   n →   . Além disso, podemos utilizar a informação de que | C P → | 2   =   r 2 . Então, vamos lá!

| C P → | 2   =   r 2   ⇒   β 2 ( 4   +   1 +   1 )   =   6   ⇒   6 = 6   ⇒ β   = 6

Assim,

n →     =   6 ( 2,1   , 1 ) e a   =   2 6 ;     b   =   c =   6

π 1   :   2 6 x   + 6 y   +   6 z   +   d 1   =   0

π 2   : - 2 6 x   - 6 y   -   6 z   +   d 2   =   0

Passo 3

Agora, temos a informação de que os planos são tangentes à superfície da esfera. Isso quer dizer que o seu raio será igual a distância entre o plano tangente e o centro da esfera. E para que essa informação é útil? Para podermos determinar o valor da variável d de cada plano.

r   =   d ( C ,   π 1 )   ⇒   6   =   | 2 6 ⋅ 1     + 6 ⋅ 0   + 6 ⋅ 0   + d 1 | 24 + 6 + 6   =   | 2 6   +   d 1 |   = 6 6     ⇒   d 1 =   4 6

e

r   =   d ( C ,   π 2 )   ⇒   6   =   | - 2 6 ⋅ 1     - 6 ⋅ 0   - 6 ⋅ 0   + d 2 | 24 + 6 + 6   =   | - 2 6   +   d 2 |   = 6 6     ⇒   d 2 =   8 6

Portanto, basta substituir os valores de d 1 =   4 6 e d 2 =   8 6 nas equações do plano π 1 e π 2 :

π 1   :   2 6 x   + 6 y   +   6 z   +   4 6   =   0   ⇒   π 1   :   2 x   + y + z + 4   =   0  

π 2   : - 2 6 x   - 6 y   -   6 z   +   8 6   =   0   ⇒ π 2 : 2 x   + y + z - 8   =   0  

Resposta

π 1   :   2 x   + y + z + 4   =   0

π 2 : 2 x   + y + z - 8   =   0

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