Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 49b

Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos:

  1. G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4
  2. G = 1,1 , 4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6
  3. G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B = 3,2 , 0

Passo 1

Antes de tudo, para sabermos se existe uma circunferência G que contém os pontos A e B , precisamos checar a seguinte relação:

d G , A = d G , B

Simplesmente é checar se o ponto G é equidistante dos pontos A e B . Então, checando, temos:

d G , A = d G , B

1 - 0 2 + 1 - 3 2 + 4 - 2 2 = 1 - 2 2 + 1 - 3 2 + 4 - 6 2

1 2 + - 2 2 + 2 2 = - 1 2 + - 2 2 + - 2 2

9 = 9

Agora sim, temos dois pontos equidistantes! Podemos então continuar a questão!

Passo 2

Para obtermos a equação de uma circunferência, precisamos da equação de uma superfície esférica e de um plano.

Vamos começar pela superfície esférica. Iremos centrar ela no próprio ponto G e usar como raio o próprio raio da circunferência. Portanto,

ρ = σ = d G , A = 9 = 3

Desta forma, temos a seguinte circunferência:

S : x - 1 2 + y - 1 2 + y - 4 2 = 9

Passo 3

Agora, vamos construir um plano π para finalizarmos a obtenção da circunferência.

Para construirmos o plano, precisamos de dois vetores diretores. Eles serão A G → B G → . Calculando-os, temos:

A G → = G - A = 1,1 , 4 - 0,3 , 2 = 1 , - 2,2

B G → = G - B = 1,1 , 4 - 2,3 , 6 = - 1 , - 2 , - 2

Portanto, vamos obter a equação do plano que tem estes vetores diretores. Para isto, basta calcular o determinante da seguinte matriz e igualar a zero. Portanto

x - 1 y - 1 z - 4 1 - 2 2 - 1 - 2 - 2 = 0

4 x - 4 + - 2 y + 2 + - 2 z + 8 - 2 z - 8 + - 4 x + 4 + - 2 y + 2 = 0

4 x - 2 y - 2 z + 6 - - 4 x - 2 y + 2 z - 2 = 0

8 x - 4 z + 8 = 0

π : 2 x - z + 2 = 0

Portanto, a circunferência Γ será dada por:

Γ : x - 1 2 + y - 1 2 + y - 4 2 = 9 2 x - z + 2 = 0

Resposta

Γ : x - 1 2 + y - 1 2 + y - 4 2 = 9 2 x - z + 2 = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha os planos tangentes à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 1 que contêm a reta interseção dos planos π 1 : x + y + z = 0 e π 2 : x - y - z - 2 = 0 .
Determine os valores máximo e mínimo atingidos pela expressão x - 2 y + z (e os pontos X m á x á e X m í n í em que ocorrem) quando X percorre a superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = 6 .
Obtenha equações da circunferência Γ de centro G que contém os pontos A e B , nos casos: G = 1,2 , 1 , A = 2,2 , 0 , B = 1,1 , 4 G = 1,1 , 4 , A = 0,3 , 2 , B = 2,3 , 6 G = 2,1 , 1 , A = 1,0 , 2 , B =
Determine os planos tangentes à superfície esférica S : x - 1 2 + y 2 + z 2 = 6 que são perpendiculares à reta r : x - 1 2 = y = z - 1 .
Em cada caso, obtenha uma equação da superfície esférica tangente aos planos π 1 e π 2 , sabendo que T é um dos pontos de tangência. π 1 : x = 0π 2 : 3 x + y + z - 2 = 0T = 0,2 , - 1 π 1 : 6 x - 3 y -