Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que é tangente aos planos π 1 : x = 2 z + 8 e π 2 : 2 x - z + 5 = 0 , cujo centro pertence à reta r : x + 2 = y = 0 .

S 1 : x + 3 2 + y 2 + z + 11 2 = 144 5 S 2 : x + 3 2 + y 2 + z + 3 2 = 4 5

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 37

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que é tangente aos planos e , cujo centro pertence à reta .

Passo 1

A equação reduzida de uma superfície esférica possui a seguinte forma:

Sendo o centro e raio

Sabemos que o centro da esfera pertence a reta. Portanto, este ponto satisfaz a equação da reta . Em outras palavras, podemos substituir as coordenadas do ponto na equação da reta! Portanto,

Se resolvermos este sistema, obtemos e . Portanto, o nosso ponto será . Nosso trabalho agora é determinar esse .

Passo 2

Para determinarmos o valor de e também do raio da esfera, precisamos utilizar as relações de tangência da esfera com os planos e . Se uma superfície é tangente ao plano, sabemos que:

Portanto, vamos calcular as distâncias da superfície aos planos.

Agora, vamos comparar as duas distâncias. Portanto,

Com esta relação, conseguimos duas possibilidades:

Portanto, temos duas possibilidades de centro: e .

Agora, só nos resta calcularmos o raio. Portanto, considerando

Portanto, temos as seguintes superfícies:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Obtenha uma equação da superfície esférica, conhecendo as extremidades de um diâmetro: A = 2 , - 3 , - 5 e B = 4,1 , - 3 .

Sejam A = x 1 , y 1 , z 1 e B = x 2 , y 2 , z 2 as extremidades de um diâmetro da superfície esférica S e P um ponto distinto de A e B . Prove que:(a) x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z

Calcule a distância de P = 1 , - 1,3 à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 = 0 (isto é, a menor das distâncias de P aos pontos de S ).

Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que M X → e N X → sejam ortogonais, sendo M = 1,1 , 0 , N = 0,1

Sejam A e B pontos distintos, pertencentes a superfície esférica S de centro C e raio ρ . Mostre que todos os pontos interiores ao segmento A B são interiores a S , e todos os pontos da reta A B , ext