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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 37

Obtenha a equação reduzida da superfície esférica que é tangente aos planos π 1 : x = 2 z + 8 e π 2 : 2 x - z + 5 = 0 , cujo centro pertence à reta r : x + 2 = y = 0 .

Passo 1

A equação reduzida de uma superfície esférica possui a seguinte forma:

S : x - x 0 2 + y - y 0 2 + z - z 0 2 = ρ 2

Sendo o centro C = x 0 , y 0 , z 0 e raio ρ .

Sabemos que o centro da esfera pertence a reta. Portanto, este ponto C satisfaz a equação da reta r . Em outras palavras, podemos substituir as coordenadas do ponto C na equação da reta! Portanto,

r : x + 2 = 0 y = 0 ⟹ x 0 + 2 = 0 y 0 = 0

Se resolvermos este sistema, obtemos x 0 = - 2 e y 0 = 0 . Portanto, o nosso ponto será C = x 0 , y 0 , z 0 = - 2,0 , z 0 . Nosso trabalho agora é determinar esse z 0 .

Passo 2

Para determinarmos o valor de z 0 e também do raio da esfera, precisamos utilizar as relações de tangência da esfera com os planos π 1 e π 2 . Se uma superfície é tangente ao plano, sabemos que:

d C , π 1 = d C , π 2 = ρ

Portanto, vamos calcular as distâncias da superfície aos planos.

d C , π 1 = - 2 - 2 z 0 - 8 1 2 + 0 2 + 2 2 = - 2 z 0 - 10 5

d C , π 2 = 2 ⋅ - 2 - z 0 + 5 2 2 + 0 2 + 1 2 = - 4 - z 0 + 5 5 = - z 0 + 1 5

Agora, vamos comparar as duas distâncias. Portanto,

d C , π 1 = d C , π 2

- 2 z 0 - 10 5 = - z 0 + 1 5

- 2 z 0 - 10 = ± - z 0 + 1

Com esta relação, conseguimos duas possibilidades:

- 2 z 0 - 10 = - z 0 + 1 - 2 z 0 - 10 = z 0 - 1 ⟹ z 0 = - 11 z 0 = - 3

Portanto, temos duas possibilidades de centro: C 1 = - 2,0 , - 11 e C 2 = - 2,0 , - 3 .

Agora, só nos resta calcularmos o raio. Portanto, considerando C 1 = - 2,0 , - 11

- 2 z 0 - 10 5 = - 2 ⋅ - 11 - 10 5 = 12 5 = ρ 1

Agora, só nos resta calcularmos o raio. Portanto, considerando C 1 = - 2,0 , - 3

- 2 z 0 - 10 5 = - 2 ⋅ - 3 - 10 5 = 4 5 = ρ 2

Portanto, temos as seguintes superfícies:

S 1 : x + 3 2 + y 2 + z + 11 2 = 144 5

S 2 : x + 3 2 + y 2 + z + 3 2 = 4 5

Resposta

S 1 : x + 3 2 + y 2 + z + 11 2 = 144 5

S 2 : x + 3 2 + y 2 + z + 3 2 = 4 5

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Obtenha uma equação da superfície esférica, conhecendo as extremidades de um diâmetro: A = 2 , - 3 , - 5 e B = 4,1 , - 3 .
Sejam A = x 1 , y 1 , z 1 e B = x 2 , y 2 , z 2 as extremidades de um diâmetro da superfície esférica S e P um ponto distinto de A e B . Prove que:(a) x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z
Calcule a distância de P = 1 , - 1,3 à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 = 0 (isto é, a menor das distâncias de P aos pontos de S ).
Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que M X → e N X → sejam ortogonais, sendo M = 1,1 , 0 , N = 0,1
Sejam A e B pontos distintos, pertencentes a superfície esférica S de centro C e raio ρ . Mostre que todos os pontos interiores ao segmento A B são interiores a S , e todos os pontos da reta A B , ext