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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 50

Dado os pontos A = 3 , - 2,5 , B = - 1,6 , - 3 e P = 1 , - 4,1 , obtenha equações da circunferência de diâmetro A B que contém P

Passo 1

Para obtermos a equação de uma circunferência, precisamos de duas coisas: um plano e uma superfície esférica. Somente após determinarmos ambos que teremos nossa circunferência.

Começaremos pela parte do plano. O plano deve, obrigatoriamente, conter os três pontos. Então, vamos obter os vetores diretores do plano:

u → = A P → = P - A = 1 , - 4,1 - 3 , - 2,5 = - 2 , - 2 , - 4

v → = B P → = P - B = 1 , - 4,1 - - 1,6 , - 3 = 2 , - 10 , 4

Portanto, o vetor normal do plano π será dado pelo produto vetorial entre os vetores diretores. Logo,

u → ∧ v → = i j k - 2 - 2 - 4 2 - 10 4 = - 8 - 40 i + - 8 + 8 j + 20 + 4 k

u → ∧ v → = - 48 i + 24 k = - 48,0 , 24

Ou simplesmente, pegando um vetor paralelo, teremos n → = - 2,0 , 1 . Desta forma, o plano será:

π : - 2 x + z + d = 0

Só nos resta identificar o valor de d . Substituindo as coordenadas do ponto A (poderia ser qualquer ponto pertencente ao plano), temos:

- 6 + 5 + d = 0

d = 1

Logo, o plano será:

π : - 2 x + z + 1 = 0

Passo 2

Agora, temos que descobrir quem é a nossa superfície esférica. Sabemos que o centro dessa superfície pertence a uma reta especial.

Essa reta r é perpendicular ao plano π , logo, seu vetor diretor é n → = - 2,0 , 1 , e também passa por um ponto G , o ponto médio do segmento A B , que é o diâmetro da circunferência.

Calculando este ponto G , temos:

G = A + B 2 = 3 , - 2,5 + - 1,6 , - 3 2 = 1,2 , 1

Portanto, a reta será:

r : X = 1 , 2,1 + λ - 2 , 0 , 1

r : X = 1 - 2 λ , 2,1 + λ

Agora, temos que descobrir o valor de λ que nos dá um ponto X equidistante de A , B e P . Logo,

d X , A = d X , B = d X , P = ρ

Vamos então a relação acima. Escolhendo as distâncias de X até os pontos A e B , temos:

d X , A = d X , B

1 - 2 λ - 3 2 + 2 - - 2 2 + 1 + λ - 5 2 = 1 - 2 λ - - 1 2 + 2 - 6 2 + 1 + λ - - 3 2

- 2 - 2 λ 2 + 4 2 + - 4 + λ 2 = 2 - 2 λ 2 + - 4 2 + 4 + λ 2

4 λ 2 + 8 λ + 4 + 16 + λ 2 - 8 λ + 16 = 4 λ 2 - 8 λ + 4 + 16 + λ 2 - 8 λ + 16

5 λ 2 + 3 6 = 5 λ 2 - 16 λ + 36

Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:

5 λ 2 + 36 = 5 λ 2 - 16 λ + 36

16 λ = 0

λ = 0

Portanto, o centro da superfície esférica será C = 1,2 , 1 = e seu raio:

ρ = d X , A = 5 λ 2 + 36 = 36 = 6

Portanto, a superfície esférica será:

S : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 6 2 = 36

Passo 3

Finalizando a questão, a circunferência será dada pela interseção do plano π e da superfície esférica S . Logo,

Γ = x - 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 36 - 2 x + z + 1 = 0

Resposta

Γ = x - 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 36 - 2 x + z + 1 = 0

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Obtenha, em cada caso, uma equação do plano que contém a reta r e é tangente à superfície esférica S . Interprete os resultados. r : x + 6 2 = y + 3 = z + 1 S : x 2 + y 2 + z 2 - 4 x + 2 y - 4 z + 4 =
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Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que a soma dos quadrados de suas distâncias aos eixos coordenado
Nos casos em que o lugar geométrico é uma superfície esférica determine o centro e o raio.(a) Lugar geométrico dos pontos X de E 3 tais que d ( X , B ) e d X , D estejam na razão 2 : 3 , sendo B = - 2