Determine se o conjunto equipado com as operações dadas é um espaço vetorial. Para os que não são espaços vetoriais, identifique os axiomas que falham.

O conjunto de todos os pares de números reais da forma com as operações padrão de .

Vamos lá sendo e .

Axioma 1: se e são objetos de então a soma deve ser objeto de , isso nós chamamos que é fechado para a soma e provamos isso na letra passada.

Axioma 2: Comutatividade.

Axioma 3: Associatividade

Axioma 4: Soma com vetor nulo deve ser o próprio vetor.

Axioma 5:

Axioma 6: Se é um escalar está contido no conjunto dos reais então está contido nos reais o que é verdade pois não podemos transacionar entre conjuntos se fizermos o produto de dois elementos contidos no mesmo conjunto.

Axioma 7:

Axioma 8:

Axioma 9:

Axioma 10:

Como todos os axiomas foram provados é espaço vetorial.

Ufa, finalmente terminamos!