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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 30

30) Mostre que não existem escalares c1, c2, c3 tais que

c 1 1 ,   0 ,   1 ,   0 + c 2 1 ,   0 ,   - 2 ,   1 + c 3 2 ,   0 ,   1 ,   2 = 1 ,   - 2 ,   2 ,   3

Passo 1

Bora lá!

A primeira coisa que vamos fazer é multiplicar esses escalares pelos vetores. Para isso, quando multiplicamos um vetor por um escalar precisamos multiplicar cada componente desse vetor por esse escalar, nesse caso:

c 1 1 ,   0 ,   1 ,   0 = c 1 ,   0 ,   c 1 ,   0

c 2 1 ,   0 ,   - 2 ,   1 = c 2 ,   0 ,   - 2 c 2 ,   c 2

e

c 3 2 ,   0 ,   1 ,   2 = 2 c 3 ,   0 ,   c 3 ,   2 c 3

Substituindo tudo na equação dada:

c 1 ,   0 ,   c 1 ,   0 + c 2 ,   0 ,   - 2 c 2 ,   c 2 + 2 c 3 ,   0 ,   c 3 ,   2 c 3 = 1 ,   - 2 ,   2 ,   3

Passo 2

Quando queremos somar ou subtrair vetores precisamos somar ou subtrair cada componente com o termo corrrespondente do outro vetor, ou seja, x com x, y com y, z com z e assim por diante.

Somando os termos, temos:

c 1 ,   0 ,   c 1 ,   0 + c 2 ,   0 ,   - 2 c 2 ,   c 2 + 2 c 3 ,   0 ,   c 3 ,   2 c 3 = 1 ,   - 2 ,   2 ,   3

c 1 + c 2 + 2 c 3 ,   0 ,   c 1 + c 3 ,   c 2 + 2 c 3 = 1 ,   - 2 ,   2 ,   3

Vamos montar uma equação para cada um desses termos:

c 1 + c 2 + 2 c 3 = 1 0 = - 2 c 1 + c 3 = 2 c 2 + 2 c 3 = 3

Opa! Se você reparar na segunda linha do sistema ocorreu uma condição inexistente na matemática. = nunca vai ser igual a -2, né não?!

Então, temos um sistema impossível. Logo, não existem escalares c1, c2, c3 tais que

c 1 1 ,   0 ,   1 ,   0 + c 2 1 ,   0 ,   - 2 ,   1 + c 3 2 ,   0 ,   1 ,   2 = 1 ,   - 2 ,   2 ,   3

Show de bola?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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