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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 3

Determine as coordenadas das extremidades do diâmetro da superfície esférica e que é paralelo a reta x   + 1 =   - y +   5   =   z -   7 .

Passo 1

E aí, galerinha! Nessa questão buscamos dois pontos na superfície de uma esfera. Então, precisamos achar P 1   =   ( x 1 , y 1 , z 1 ) e P 2   =   ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Além disso, o centro dessa esfera será em C =   ( a , b , c ) . Vamos completar quadrados várias vezes para obter a equação da esfera numa forma mais conveniente. Acompanha aí os cálculos necessários.

x 2 +   y 2   +   z 2   - x   +   3 y + z   - 4 = 0   ( S o m a   e   s u b t r a i   1 4 )

x 2 - x   + 1 4 - 1 4 +   y 2   +   3 y +   z 2   + z   - 4 = 0

( x - 1 2 ) 2 +   y 2   +   3 y +   z 2   + z   - 4 - 1 4 = 0   ( S o m a   e   s u b t r a i   1 4 )

( x - 1 2 ) 2 +   y 2   +   3 y +   z 2   + z   + 1 4 - 1 4 - 4 - 1 4 = 0

( x - 1 2 ) 2 +   y 2   +   3 y +   ( z + 1 2 ) 2   - 2 4 - 4 = 0   ( S o m a   e   s u b t r a i   9 4 )

( x - 1 2 ) 2 +   y 2   +   3 y + 9 4 +   ( z + 1 2 ) 2   - 9 4 - 2 4 - 4 = 0

( x - 1 2 ) 2 + (   y   +   3 2 ) 2 +   ( z + 1 2 ) 2   - 27 4 = 0

( x - 1 2 ) 2 + (   y   +   3 2 ) 2 +   ( z + 1 2 ) 2   = 27 4

onde obtivemos os seguintes valores:

a   = 1 2 , b   = - 3 2 ,   c   = - 1 2 , r 2   = 27 4 e C   = ( 1 2 ,   - 3 2   ,   - 1 2 ) .

Passo 2

É dado que a reta R   =   ( λ   - 1 ,   - λ + 5 ,   λ   +   7   ) , com vetor diretor v → R = ( 1 , - 1,1 ) , em sua forma paramétrica, é paralela ao diâmetro que queremos. Assim, podemos assumir que C P 1 →   =   k v → R e que P 2 C →   =   k v → R . Daí:

C P 1 →   = P 1   - C   ⇒ ( x 1   - a , y 1   - b , z 1   - c )   =   k ( 1 , - 1,1   )

P 2 C →   = C   -   P   ⇒ ( a - x 2 , b   - y 2 , c - z 2 )   =   k ( 1 , - 1,1   )

Temos que notar que | C P 1 → | = r . Olhando a equação acima, concluímos que

| k ( 1 , - 1,1   ) | = r

⇒ k 2 ( 1 + 1 + 1 ) = r

⇒ k 3 = r ⇒ 3 k 2 = r 2 = 27 4

⇒ k 2 = 9 4 ⇒ k = 3 2

Passo 3

Substituindo os valores a   = 1 2 , b   = - 3 2 ,   c   = - 1 2 e k = 3 2

Em ( x 1   - a , y 1   - b , z 1   - c )   =   k ( 1 , - 1,1   ) :

( x 1   - 1 2 , y 1   + 3 2 , z 1   + 1 2 )   =   3 2 ( 1 , - 1,1   )  

⇒ x 1   - 1 2   =   3 2   ⇒   x 1   =   2

⇒ y 1   + 3 2   =   - 3 2   ⇒   y 1   = - 3

⇒ z 1   + 1 2   =   3 2   ⇒   z 1   =   1

Logo, P 1   =   ( 2 , - 3,1 ) .

Para ( a - x 2 , b   - y 2 , c - z 2 )   =   k ( 1 , - 1,1   ) :

( 1 2 - x 2 , - 3 2   - y 2 , - 1 2 - z 2 )   =   3 2 ( 1 , - 1,1   )  

⇒ 1 2 - x 2   =   3 2   ⇒   x 2   =   - 1

⇒ - 3 2   - y 2   =   - 3 2   ⇒   y 2   = 0

⇒ - 1 2 - z 2   =   3 2   ⇒   z 2   =   - 2

Logo, P 2   =   ( - 1,0 , - 2 ) .

Resposta

P 1   =   ( 2 , - 3,1 )

P 2   =   ( - 1,0 , - 2 )

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