Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 1e
Determinar uma equação das superfícies esféricas nas condições dadas.
- O centro e tangente ao plano .
Passo 1
Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D
Resgatando do livro texto, a equação de uma superfície esférica de centro e raio é:
No nosso caso temos o centro e sabemos que essa esfera é tangente ao plano . Isso significa que a distância do centro até o plano é igual ao raio. Então a ideia aqui é a seguinte: aplicar a fórmula da distância do ponto ao plano para determinar o raio. Com o centro e nas mãos, substituir na equação geral da superfície esférica, abrir os produtos notáveis e reorganizar os termos =D
Beleza até aqui?
Vamos começar?
Passo 2
Primeiro a distância entre e o plano . Como recordar é viver, vamos relembrar como se calcula a distância entre um ponto e um plano, beleza?
Seja um plano cuja equação geral é . E seja um ponto que não pertença a esse plano. A distância desse ponto até o plano é dado por:
No nosso caso temos:
Então agora é só substituir:
Ok! Então temos que o raio dessa superfície esférica é . Tranquilo até aqui? Então agora vamos juntar esse resultado com o ponto dado, vamos lá?
Passo 3
Resgatando o centro do enunciado e o raio , podemos substituir na equação geral.
Resgatando lá do passo a equação geral temos:
Agora é só substituir:
Mas a resposta é com os produtos notáveis desenvolvidos, então ainda faltam fazer algumas continhas:
Ufa! Agora sim! A equação dessa superfície esférica é .
Espero ter ajudado!
Vamos pra próxima?