Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas propostos - Ex. 2c

Determinar uma equação da superfície esférica de centro e:

tangente ao plano .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos resolver junto esse exercício? =D

Resgatando do livro texto, a equação de uma superfície esférica de centro e raio é:

No nosso caso temos o centro e sabemos que essa esfera é tangente ao plano . Isso significa que a distância do centro até o plano (ou seja, a coordenada do ponto) é igual ao raio. Então a ideia aqui é a seguinte: identificar a coordenada do ponto do centro e assim achamos o . E com o centro e o raio , substituir na equação geral da superfície esférica, abrir os produtos notáveis, reorganizar os termos e é só =D

Beleza até aqui?

Vamos começar?

Passo 2

Primeiro a coordenada do centro: Aqui temos que , então .

Passo 3

Pronto! Agora vamos juntar o centro e e substituir na equação geral.

Resgatando lá do passo a equação geral temos:

Agora é só substituir:

Mas a resposta é com os produtos notáveis desenvolvidos, então ainda faltam fazer algumas continhas:

Ufa! Agora sim! A equação dessa superfície esférica é .

Espero ter ajudado!

Vamos pra próxima?

Resposta

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Obtenha equações da reta perpendicular ao plano π = 10 x - 2 y + 4 z - 1 = 0 , que contém um diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 6 y + z - 11 = 0 .

Determine o diâmetro da superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y = 0 que é perpendicular ao plano π : x - y - 2 = 0 .

Obtenha uma equação da superfície esférica, conhecendo as extremidades de um diâmetro: A = 2 , - 3 , - 5 e B = 4,1 , - 3 .

Sejam A = x 1 , y 1 , z 1 e B = x 2 , y 2 , z 2 as extremidades de um diâmetro da superfície esférica S e P um ponto distinto de A e B . Prove que:(a) x - x 1 x - x 2 + y - y 1 y - y 2 + z - z 1 z - z

Calcule a distância de P = 1 , - 1,3 à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x + 4 y - 10 z - 62 = 0 (isto é, a menor das distâncias de P aos pontos de S ).