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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 4

Determine uma equação da superfície esférica que tem centro na reta

x   =   1   -   y

⎨ z   =   1   +   2 y e passa por M   =   ( 1,2 , 1 ) e N   =   ( - 1,1 , 0 ) .

Passo 1

E aí galera. Vamos começar essa com um ponto C =   ( a , b , c ) ,no centro da esfera. Com ele, podemos usar a seguinte relação para a distância do centro a um ponto P =   ( x , y , z ) :

d ( C , P ) 2   = r 2   =   ( x - a ) 2   +   ( y - b ) 2   + ( z - c ) 2 .

Então, d ( C , M )   =   d ( C , N ) , pois os pontos M e N estão na superfície da esfera. Substituindo os valores, temos

( 1 - a ) 2   +   ( 2 - b ) 2   + ( 1 - c ) 2   =   ( - 1 - a ) 2   +   ( 1 - b ) 2   + ( 0 - c ) 2

⇒ 1 - 2 a + a 2 + 4 - 4 b + b 2 + 1 - 2 c + c 2 = 1 + 2 a + a 2 + 1 - 2 b + b 2 + c 2

⇒ - 2 a - 4 b - 2 c - 2 a + 2 b = 2 - 6

⇒ - 4 a - 2 b - 2 c = - 4

⇒ a + 1 2 b + 1 2 c = 1

Passo 2

Agora, vamos utilizar a informação de que a reta passa pelo centro da esfera. Para isso acontecer, os valores que x ,   y e z devem assumir são os do ponto C   = ( a , b , c ) . Logo, ficamos com o seguinte sistema:

a   =   1   - b

c   =   1   + 2 b

Vamos substituir os valores acima na equação do passo anterior e descobrir o valor de b . Assim,

1   - b + 1 2 b + 1 2 ⋅ ( 1   + 2 b ) = 1   ⇒   b 2   =   - 1 2   ⇒   b   =   - 1

Para finalizar, precisamos substituir o valor de   b   =   - 1 para acharmos os valores de a e c . Logo,

a   =   1   - ( - 1 )   =   2   e c   =   1   + 2 ⋅ ( - 1 ) =   - 1

Portanto, o centro da esfera é no ponto C   = ( 2 , - 1 , - 1 ) e a equação da superfície esférica será dado por:

( x -   2 ) 2   +   ( y + 1 ) 2   + ( z + 1 ) 2   =   r 2

Só falta encontrar o valor de r 2 , que é dado pela seguinte relação:

r 2     =   d ( C ,   N ) 2   =   ( - 1 -   2 ) 2   +   ( 1 + 1 ) 2   + ( 0 + 1 ) 2   =   9   +   4   + 1   =   14

Resposta

( x -   2 ) 2   +   ( y + 1 ) 2   + ( z + 1 ) 2   = 14

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