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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 23

Determine a distância do ponto P   =   ( 6 , - 4,4 ) à reta determinada pelos pontos A   =   ( 2,1 , 2 ) e B   =   ( 3 , - 1,4 ) .

Passo 1

E aí, galera? Essa questão não tem muito segredo. Depois de obter a equação da reta, só precisamos um vetor que saia P e vá até a reta e seja perpendicular a ela. Depois calculamos o módulo desse vetor. Então, vamos lá!

Vamos começar determinando a reta. Para isso, vamos considerar A   =   ( 2,1 , 2 ) como o ponto inicial e o vetor diretor será dado por

v → = A B → = B - A = ( 3 , - 1,4 ) - ( 2,1 , 2 ) = ( 1 , - 2,2 )

Então, as equações paramétricas da reta serão:

x = 2 + t ,   y = 1 - 2 t ,   z =   2 + 2 t

Então, qualquer ponto dessa reta pode ser escrito como

R = ( 2 + t ,   1 - 2 t ,     2 + 2 t )

Passo 2

O vetor que queremos será dado por

P R → = R - P = ( 2 + t ,   1 - 2 t ,     2 + 2 t ) -   ( 6 , - 4,4 ) = ( - 4 + t ,   5 - 2 t ,     - 2 + 2 t )

Como esse vetor tem que ser perpendicular a reta, então temos

P R → ⋅ v → = 0 ⇒ ( - 4 + t ,   5 - 2 t ,     - 2 + 2 t ) ⋅ ( 1 , - 2,2 ) = 0

⇒ - 4 + t - 10 + 4 t - 4 + 4 t = 0

⇒ - 18 + 9 t = 0 ⇒ t = 2

Agora, substituímos t = 2 no vetor P R → e calculamos o seu módulo:

P R → = ( - 4 + t ,   5 - 2 t ,     - 2 + 2 t ) = ( - 4 + 2 ,   5 - 4 ,     - 2 + 4 ) = ( - 2,1 , 2 )

⇒ d = | P R → | = 4 + 1 + 4 = 9 = 3

Resposta

d = 3

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