É dado o com , e .
- Escreva equações das três medianas.
- Ache a interseção de duas delas.
- Mostre que a terceira mediana passa pela interseção das outras duas.
Passo 1
Antes de começar propriamente a questão, vamos calcular alguns vetores com os pontos que já temos disponíveis:
- Para calcular as medianas, vamos usar o resultado Exercício Resolvido 3 do capítulo 1: Assim, temos
- A interseção de duas das retas (vamos escolher AP e CN) é dada quando igualamos as coordenadas das duas retas
- Para mostrar que a terceira mediana (BM) passa pela interseção das outras duas, só precisamos mostrar que o ponto está contido na reta para algum valor de . Assim, temos
Mediana de A:
Como essa mediana começa em , podemos escrever a seguinte equação paramétrica:
Mediana de B:
Como a mediana começa em , ela pode ser escrita na forma paramétrica como:
Mediana de C:
Essa mediana começa em , então sua equação paramétrica será:
Passo 2
Já podemos parar por aqui, porque é possível descobrir o ponto de interseção apenas substituindo na reta CN:
Logo, o ponto de interseção será
Passo 3
Como encontramos o mesmo valor de para todas as equações, então o ponto pertence a terceira mediana, ou seja, a terceira mediana passa pela interseção das outras duas.
Resposta
- ,