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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 20

É dado o Δ A B C com A   =   ( 2,3 , - 1 ) , B   =   ( 4 , - 1,5 ) e C   =   ( 0,3 , - 1 ) .

  1. Escreva equações das três medianas.
  2. Ache a interseção de duas delas.
  3. Mostre que a terceira mediana passa pela interseção das outras duas.

Passo 1

Antes de começar propriamente a questão, vamos calcular alguns vetores com os pontos que já temos disponíveis:

A B → = B - A =   ( 4 , - 1,5 ) - ( 2,3 , - 1 ) = ( 2 , - 4,6 )

A C → = C - A =   ( 0,3 , - 1 ) - ( 2,3 , - 1 ) = ( - 2,0 , 0 )

B C → = C - B = ( 0,3 , - 1 ) -   ( 4 , - 1,5 ) = ( - 4,4 , - 6 )

  1. Para calcular as medianas, vamos usar o resultado Exercício Resolvido 3 do capítulo 1: Assim, temos

    2. Mediana de A:

    A P → = 1 2 ( A B → + A C → ) = 1 2 [ ( 2 , - 4,6 ) + ( - 2,0 , 0 ) ] = 1 2 ( 0 , - 4,6 ) = ( 0 , - 2,3 )

    Como essa mediana começa em A   =   ( 2,3 , - 1 ) , podemos escrever a seguinte equação paramétrica:

    A P :   x = 2 ,   y = 3 - 2 p ,   z = - 1 + 3 p

    Mediana de B:

    B M → = 1 2 ( B A → + B C → ) = 1 2 [ - ( 2 , - 4,6 ) + ( - 4,4 , - 6 ) ] = 1 2 ( - 6,8 , - 12 ) = ( - 3,4 , - 6 )

    Como a mediana começa em B   =   ( 4 , - 1,5 ) , ela pode ser escrita na forma paramétrica como:

    B M :   x = 4 - 3 m ,   y = - 1 + 4 m ,   z = 5 - 6 m

    Mediana de C:

    C N → = 1 2 ( C A → + C B → ) = 1 2 [ - ( - 2,0 , 0 ) - ( - 4,4 , - 6 ) ] = 1 2 ( 6 , - 4,6 ) = ( 3 , - 2,3 )

    Essa mediana começa em C   =   ( 0,3 , - 1 ) , então sua equação paramétrica será:

    C N :   x = 3 n ,   y = 3 - 2 n ,   z = - 1 + 3 n

    Passo 2

  2. A interseção de duas das retas (vamos escolher AP e CN) é dada quando igualamos as coordenadas das duas retas

    3. x = 3 n = 2 ⇒ n = 2 3

    Já podemos parar por aqui, porque é possível descobrir o ponto de interseção apenas substituindo n = 2 3 na reta CN:

    x = 3 n = 2

    y = 3 - 2 n = 3 - 4 3 = 5 3

    z = - 1 + 3 n = - 1 + 2 = 1

    Logo, o ponto de interseção será G = ( 2 , 5 3 , 1 )

    Passo 3

  3. Para mostrar que a terceira mediana (BM) passa pela interseção das outras duas, só precisamos mostrar que o ponto G = ( 2 , 5 3 , 1 ) está contido na reta para algum valor de m . Assim, temos

  x = 4 - 3 m = 2 ⇒ m = 2 3

  y = - 1 + 4 m = 5 3 ⇒ 4 m = 8 3 ⇒ m = 2 3

  z = 5 - 6 m = 1 ⇒ m = 4 6 = 2 3

Como encontramos o mesmo valor de m para todas as equações, então o ponto G pertence a terceira mediana, ou seja, a terceira mediana passa pela interseção das outras duas.

Resposta

  1. A P :   x = 2 ,   y = 3 - 2 p ,   z = - 1 + 3 p , B M :   x = 4 - 3 m ,   y = - 1 + 4 m ,   z = 5 - 6 m C N :   x = 3 n ,   y = 3 - 2 n ,   z = - 1 + 3 n

  2. G = ( 2 , 5 3 , 1 )

Exercícios de Livros Relacionados

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Sejam A = (0, 1, 0), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e D = (0, 0, 1). Mostre que as retas AB e CD têm um ponto em comum, o qual pertence também à reta EF, onde E = (1, 0, 0) e F = (0, 1, 1). Interprete e
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