Determine a , b , c e d para que as retas r e s coincidam, sendo:

⎧ x   =   1   + 4 λ

r   ⎢ y   = a   - 2 λ

                ⎩ z   = - 1   + b λ

⎧ x   = 9   +   2 β

  s   ⎢ y   = - 1   +   c β

                  ⎩   z   =   d   +   3 β

Passo 1

E ai, pessoal! Para que as retas coincidam, só temos que igualar as coordenadas das duas retas e resolver o sistema de equações para encontrar a , b , c e d . Vamos lá!

x   =   1   + 4 λ = 9   +   2 β

y = a   - 2 λ = - 1   +   c β

z = - 1   + b λ =   d   +   3 β

A primeira equação resulta em

1   + 4 λ = 9   +   2 β

⇒ 4 λ - 8 =   2 β

⇒   β = 2 λ - 4

Substituindo esse resultado na segunda equação nos dá

a   - 2 λ = - 1   +   c β

⇒ a   - 2 λ = - 1   +   c ( 2 λ - 4 )

⇒ λ ( 2 c + 2 ) = a + 1 + 4 c

No lado esquerdo temos termos de primeira ordem em λ e no lado direito termo termos de ordem zero em λ . A equação acima só pode ser verdadeira se ambos os lados forem nulos:

2 c + 2 = 0 ⇒ c = - 1

a + 1 + 4 c = 0 ⇒ a = - 1 - 4 c = - 1 + 4 = 3

Agora vamos substituir   β = 2 λ - 4 na terceira equação

- 1   + b λ =   d   +   3 β ⇒ - 1   + b λ =   d   +   6 λ - 12 ⇒ ( b - 6 ) λ =   d   - 11

Segundo o mesmo raciocínio usado acima, temos

b - 6 ⇒ b = 6

  d   - 11 = 0 ⇒ d = 11

Resposta

a = 3

b = 6

c = - 1

d = 11

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