Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 28
Dê uma equação do plano , simétrico de em relação ao plano .
Passo 1
Pessoal, se a gente observar bem as equações dos planos e , vamos ver que eles são paralelos porque possuem o mesmo vetor normal: . Naturalmente, o vetor normal do plano também vai ser o mesmo e vamos ter
Então, se liga no raciocínio que nós temos que seguir. O plano está a uma determinada distância em relação ao plano . O plano também está a essa mesma distância em relação ao plano , mas do outro lado. Para descobrir essa distância, vamos tentar descobrir um ponto no plano , descobrir a distância desse ponto até e depois descobrir um ponto em que tenha essa mesma distância em relação a . Vamos lá?
Passo 2
Ok, vamos tentar descobrir um ponto no plano . Se fizermos , ficamos com
Então o ponto faz parte do plano . A distância desse ponto até o plano é dada pela fórmula:
Substituindo os valores (lembrando que , então ), obtemos
Passo 3
Agora, temos que tentar descobrir um ponto em que tenha uma distância de até o plano , mas que seja simétrico a . Vamos fazer em :
Então, temos um ponto no plano . Agora, vamos descobrir para que a distância entre e seja . Substituindo esses dados na equação da distância, ficamos com
Nesse caso, podemos ter ou para que a equação acima seja satisfeita. Mas a segunda opção já corresponde ao plano . Então, devemos ter e