Enunciado

Dê uma equação do plano γ , simétrico de α :   x + y - z + 5 = 0 em relação ao plano β :   x + y - z - 4 = 0 .

Passo 1

Pessoal, se a gente observar bem as equações dos planos α :   x + y - z + 5 = 0 e β :   x + y - z - 4 = 0 , vamos ver que eles são paralelos porque possuem o mesmo vetor normal: n → = ( 1,1 , - 1 ) . Naturalmente, o vetor normal do plano γ também vai ser o mesmo e vamos ter

γ :   x + y - z + d = 0

Então, se liga no raciocínio que nós temos que seguir. O plano α está a uma determinada distância em relação ao plano β . O plano γ também está a essa mesma distância em relação ao plano β , mas do outro lado. Para descobrir essa distância, vamos tentar descobrir um ponto no plano α , descobrir a distância desse ponto até β e depois descobrir um ponto em γ que tenha essa mesma distância em relação a β . Vamos lá?

Passo 2

Ok, vamos tentar descobrir um ponto no plano α :   x + y - z + 5 = 0 . Se fizermos x = y = 0 , ficamos com

α :   x + y - z + 5 = 0 ⇒ - z + 5 = 0 ⇒ z = 5

Então o ponto ( 0,0 , 5 ) faz parte do plano α . A distância desse ponto até o plano β é dada pela fórmula:

D   = | a x 0     +   b y 0   +   c z 0   +   d | a 2   + b 2 + c 2

Substituindo os valores (lembrando que β :   x + y - z - 4 = 0 , então a = b = 1 ,   c = - 1 ,   d = - 4 ), obtemos

D   = | 1 ⋅ 0 +   1 ⋅ 0   - 1 ⋅ 5 - 4 | 1 2   + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 9 3

Passo 3

Agora, temos que tentar descobrir um ponto em γ :   x + y - z + d = 0 que tenha uma distância de D = 9 3 até o plano β , mas que seja simétrico a ( 0,0 , 5 ) . Vamos fazer x = y = 0 em γ :

  - z + d = 0 ⇒ z = d

Então, temos um ponto ( 0,0 , d ) no plano γ . Agora, vamos descobrir d para que a distância entre γ e β seja D = 1 3 . Substituindo esses dados na equação da distância, ficamos com

D   = | 1 ⋅ 0 +   1 ⋅ 0   - 1 ⋅ d - 4 | 1 2   + 1 2 + ( - 1 ) 2 = 9 3 ⇒ | - d - 4 | = 9

Nesse caso, podemos ter d = - 13 ou d = 5 para que a equação acima seja satisfeita. Mas a segunda opção já corresponde ao plano α . Então, devemos ter d = - 13 e

γ :   x + y - z - 13 = 0

Resposta

γ :   x + y - z - 13 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular a distância entre os planos paralelos:a) π 1 : 2 x + 2 y + 2 z - 5 = 0 e π 2 : x + y + z - 3 = 0
Escrever as equações dos planos paralelos ao plano π : 3 x - 2 y - 6 z - 5 = 0 que distam 5 unidades da origem.
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Mostre que a distância entre dois planos paralelos π 1 : a x + b y + c z + d 1 = 0eπ 2 : a x + b y + c z + d 2 = 0 é d i s t π 1 , π 2 = d 2 - d 1 a 2 + b 2 + c 2 .
b) Determine o volume do tetraedro determinado pelo plano π , os planos coordenados xz e yz e o plano z = 2.