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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas Propostos - Ex. 25

Determine a equação geral do plano que contém o ponto e a reta dados:

A 3 , - 2 , - 1   e     r : x + 2 y + z - 1 = 0 2 x + y - z + 7 = 0

Passo 1

E aí tudo joia?

Precisamos encontrar um vetor normal ao plano pra escrever a equação geral dele.

Primeiro perceba que essa reta é a interseção de dois planos. Vamos estabelecer uma relação melhorzinha ali...

Na primeira equação: z = - x - 2 y + 1

Aí jogando na segunda:

2 x + y - - x - 2 y + 1 + 7 = 0

2 x + y + x + 2 y - 1 + 7 = 0

3 x + 3 y + 6 = 0

x = - y - 2

Passo 2

Encontrada essa relação na reta r , podemos fazer y = 0 e teremos o ponto: B ( - 2,0 , 3 ) e y = 1 , achando: C ( - 3,1 , 2 ) .

Agora a gente vai fazer os vetores A B →   e   A C → :

A B → = - 5,2 , 4  

A C → = ( - 6,3 , 3 )

Esses dois vetores são paralelos à reta, e ao nosso plano.

Pra achar um vetor normal, a gente vai fazer o produto vetorial entre os vetores paralelos...

Passo 3

Produto vetorial:

det ⁡ i → j → k → - 5 2 4 - 6 3 3 = i → 2 4 3 3 - j → - 5 4 - 6 3 + k → - 5 2 - 6 3

= - 6 i → - 9 j → - 3 k →

Temos um vetor normal então que é o ( - 6 , - 9 , - 3 ) .

Nosso plano então é da forma:

- 6 x - 9 y - 3 z + d = 0

Show de bola! Só falta achar esse d aí agora...

Passo 4

Vamos achar esse d agora jogando o ponto A ( 3 , - 2 , - 1 ) nessa expressão do plano:

- 6 3 - 9 - 2 - 3 - 1 + d = 0

- 18 + 18 + 3 + d = 0

d = - 3

O nosso plano então é:

- 6 x - 9 y - 3 z - 3 = 0 (divide tudo por (-3))

2 x + 3 y + z + 1 = 0

E prontinho! Finalmente encontramos nosso plano😉

Resposta

2 x + 3 y + z + 1 = 0

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