Determine as equações da reta r que é a interseção dos planos:

π 1 : x - 2 y + 2 z = 0

π 2 : 3 x - 5 y + 7 z = 0

(b) Qual a posição relativa da reta r e do plano y + z = 0.

Passo 1

Opa! Tudo beleza?

Vamos fazer a interseção dos planos, resolvendo o sistema:

x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0

Vamos escalonar esse sistema:

1 - 2 2 3 - 5 7     0 0 → L 2 - 3 L 1

1 - 2 2 0 1 1     0 0 → L 1 + 2 L 2

1 0 4 0 1 1     0 0

Ficamos com:

x = - 4 z

y = - z

Chamando z = t , temos:

r : x = - 4 t y = - t z = t ,     t ∈ R

Passo 2

a) Temos que o vetor diretor da reta é - 4 , - 1,1 e o vetor normal do plano é: ( 0,1 , 1 )

Calculando o produto interno entre eles:

- 4 0 - 1 1 + 1 1 =   - 1 + 1 = 0

Então o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano.

Sendo assim, a reta é paralela ou está contida no plano.

Pra saber, vamos testar um ponto da reta...

O ponto ( 0,0 , 0 ) por exemplo. Pertence ao plano também. Então a reta está contida no plano.

Resposta

  1. r : x = - 4 t y = - t z = t ,     t ∈ R
  2. A reta está contida no plano.

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