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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 15.Exercício - Ex. 1a

Verifique se as retas r e s são concorrentes e, se forem, obtenha o ponto de intersecção.

a) r : X = 1 ,   1 ,   0 + λ 1 ,   2 ,   3                                     s : X = 2 ,   3 ,   3 + μ ( 3 ,   2 ,   1 )

Passo 1

a) Vamos igualar as equações das retas, para assim achar o ponto em comum entre elas:

1 ,   1 ,   0 + λ 1 ,   2 ,   3 = 2 ,   3 ,   3 + μ ( 3 ,   2 ,   1 )

1 + λ ,   1 + 2 λ ,   3 λ = ( 2 + 3 μ ,   3 + 2 μ ,   3 + μ )

Igualando as coordenadas, temos o sistema:

1 + λ = 2 + 3 μ 1 + 2 λ = 3 + 2 μ 3 λ = 3 + μ

Que é:

λ - 3 μ = 1 2 λ - 2 μ = 2 3 λ - μ = 3

Passo 2

Da primeira equação, temos:

λ = 3 μ + 1

Substituindo na segunda equação:

2 3 μ + 1 - 2 μ = 2

4 μ = 0

μ = 0

Então λ = 3.0 + 1 = 1

Substituindo esses valores na terceira equação, o resultado procede, então para λ = 1 e μ = 0 , as retas passam pelo mesmo ponto.

Para encontrar esse ponto, vamos substituir λ em r ou μ em s .

Substituindo μ = 0 em s :

X = 2 ,   3 ,   3 + 0 . ( 3 ,   2 ,   1 )

X = ( 2 ,   3 ,   3 )

Então o ponto de intersecção das retas é ( 2 ,   3 ,   3 ) :)

Resposta

a) P = ( 2 ,   3 ,   3 )

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Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:c) x = - 2 + λ - μ y = 2 λ + 2 μ z = λ + μ
Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do planod) y - z - 2 = 0
Obtenha os pontos depi 1 : X = (1 , 0 , 0) + lambda (2 , 1 , 1) + mu ( 0 , 0 , 1 ) que pertencem a pi 2 : x + y + z - 1 = 0 .
Obtenha os pontos de r : X = 1 ,1 ,1 + λ ( 2 ,0 ,1 ) que pertencem ao plano π , nos casos:d) π é o plano O x z
Dada uma equação geral, obtenha equações paramétricas do planoc) z - 3 = 0