Verifique se as retas r e s são concorrentes, determine o ponto comum e obtenha uma equação geral do plano determinado por elas.

c) r : x - 3 2 = y - 6 2 = z - 1                             s : x 2 = y 8 = z + 4 8

Passo 1

Primeiro vamos escrever equações paramétricas pra r e s :

r :   x = 3 + 2 λ y = 6 + 2 λ z = 1 + λ

s :   x = 2 μ y = 8 μ z = - 4 + 8 μ

Agora vamos igualar os x ' s ,   y ' s e z ' s de r e s ok?

3 + 2 λ = 2 μ 6 + 2 λ = 8 μ 1 + λ = - 4 + 8 μ

2 λ - 2 μ = - 3 2 λ - 8 μ = - 6 λ - 8 μ = - 5

Passo 2

Da terceira equação, temos:

8 μ = λ + 5

Substituindo na segunda equação:

2 λ - ( λ + 5 ) = - 6

2 λ - λ - 5 = - 6

λ = - 1

Então 8 μ = - 1 + 5 = 4 → μ = 1 2

Substituindo esses valores de λ e μ nas 3 equações, a igualdade é verdadeira certo? Então encontramos os valores dos parâmetros para um ponto onde as retas se cruzam :D

Passo 3

Para encontrarmos o ponto onde as retas se cruzam, vamos substituir λ em r ou μ em s .

Substituindo λ em r :

r :   x = 3 + 2 - 1 = 1 y = 6 + 2 - 1 = 4 z = 1 + - 1 = 0

Então o ponto onde as retas se cruzam é P = ( 1 ,   4 ,   0 ) :D

Passo 4

Para termos a equação geral do plano determinado pelas retas, temos que encontrar o vetor normal, que é o produto vetorial de seus vetores diretores:

2 ,   2 ,   1 ∧ 2 ,   8 ,   8 = ( 8 ,   - 14 ,   12 )

Então a equação desse plano é assim:

8 x - 14 y + 12 z + d = 0

Para encontrarmos d , vamos substituir o ponto P nessa equação, pois sabemos que o plano passa por ela já que ele é o cruzamento das retas (também poderíamos substituir os pontos pertencentes às equações das retas):

8 . 1 - 14 . 4 + 12 . 0 + d = 0

d = 48

Então, a equação é

8 x - 14 y + 12 z + 48 = 0

Simplificando por 2:

4 x - 7 y + 6 z + 24 = 0

Resposta

c) As retas se cruzam em P = ( 1 ,   4 ,   0 )

O plano é dado por 4 x - 7 y + 6 z + 24 = 0

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