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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 14

(a) Determine a equação do plano π 1 que passa por A = 10 3 ,   1 , - 1 ,   B = 1 , 9 2 ,   - 1 ,   C = 1 , - 1 , 5 6

(b) Determine a equação do plano π 2 que passa por D = (−1, 4, −1), E = (3/2, −1, 10) e é paralelo ao eixo z.

(c) Escreva equações paramétricas para a reta r interseção dos planos π 1     e   π 2 .

(d) Faça um esboço dos planos π 1 , π 2 e da reta r no primeiro octante.

(e) Qual o angulo entre os planos π 1   e   π 2   ?

(f) Qual o ponto P de π 1 que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que O P → é ortogonal ao plano π 1 .)

Passo 1

Vamos com calma que essa tem muita coisa!

  1. Precisamos de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos primeiro fazer os vetores paralelos.

    2. A B → = - 7 3 , 7 2 ,   0

    A C → = - 7 3 ,   - 2 , 11 6

    Beleza, o vetor normal é perpendicular a esses dois, então podemos fazer o produto vetorial deles:

    i j k - 7 3 7 2 0 - 7 3 - 2 11 6 = 77 12 i + 77 18 j + 77 6 k

    O plano então é:

    77 12 x + 77 18 y + 77 6 z + d = 0

    Substituímos um dos pontos:

    77 12 ( 1 ) + 77 18 ( - 1 ) + 77 6 5 6 + d = 0

    d = - 77 6

    O plano então:

    77 12 x + 77 18 y + 77 6 z - 77 6 = 0

    Simplificando:

    3 x + 2 y + 6 z - 6 = 0

    Passo 2

    Bora pro próximo item!

  2. O plano é paralelo ao vetor D E → = 5 2 ,   - 5 ,   11 e ao vetor ( 0,0 , 1 ) , que representa o eixo z .

    3. Agora vamos fazer o produto vetorial entre esses vetores para encontrarmos o vetor normal.

    i j k 5 2 - 5 11 0 0 1 =   - 5 i - 5 2 j + 0 k

    O plano então é da forma:

    - 5 x - 5 2 y + d = 0

    Substituindo um ponto:

    - 5 - 1 - 5 2 4 + d = 0

    d = 5

    O plano então é:

    - 5 x - 5 2 y + 5 = 0

    2 x + y - 2 = 0

    Passo 3

  3. Vamos fazer a interseção dos planos:

    4. 3 x + 2 y + 6 z = 6 2 x + y = 2

    Vamos escalonar esse sistema:

    3 2 6 2 1 0     6 2 → L 1 3

    1 2 / 3 2 2 1 0     2 2 → L 2 - 2 L 1  

    1 2 / 3 2 0 - 1 / 3 - 4     2 - 2 → - 3 L 2

    1 2 / 3 2 0 1 12     2 6 → L 1 - 2 3 L 2

    1 0 - 6 0 1 12     - 2 6

    O problema também fica:

    x = - 2 + 6 z y = 6 - 12 z

    Chamando z = t , temos a reta:

    x = - 2 + 6 t y = 6 - 12 t z = t ,       t   ∈ R

    Passo 4

    5. Passo 5

  5. Vamos calcular o ângulo entre os ângulos, dado pela fórmula:

    6. cos ⁡ π 1 ,   π 2 =   | N 1 ⋅ N 2 | N 1 N 2

    cos ⁡ π 1 , π 2 =   | 3,2 , 6 ⋅ 2,1 , 0 | 3 2 + 2 2 + 6 2   2 2 + 1 2 + 0 2 = 8 49   5 = 8 7 5  

    O ângulo então é dado por:

    arccos ⁡ 8 7 5 ≈ 59,26 °

    Passo 6

  6. Utilizando a sugestão, temos que:

O P → =   = p r o j N 1 O A → =   N 1 ⋅ O A → N 1 2 N 1

= 3,2 , 6 10 3 ,   1   , - 1 7 ⋅ 3,2 , 6 = 6 49 3,2 , 6

O ponto P então é:

6 49 3,2 , 6

Ufa! Acabamos! 😉

Resposta

  1. 3 x + 2 y + 6 z - 6 = 0
  2. 2 x + y - 2 = 0
  3. x = - 2 + 6 t y = 6 - 12 t z = t ,       t   ∈ R
  4. Esboço.
  5. arccos ⁡ 8 7 5 ≈ 59,26 °
  6. 6 49 3,2 , 6

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