Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Reginaldo - Matrizes, Vetores e Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 14
(a) Determine a equação do plano que passa por
(b) Determine a equação do plano que passa por D = (−1, 4, −1), E = (3/2, −1, 10) e é paralelo ao eixo z.
(c) Escreva equações paramétricas para a reta r interseção dos planos .
(d) Faça um esboço dos planos , e da reta r no primeiro octante.
(e) Qual o angulo entre os planos ?
(f) Qual o ponto P de que está mais próximo da origem? (Sugestão: este ponto é tal que é ortogonal ao plano .)
Passo 1
Vamos com calma que essa tem muita coisa!
- Precisamos de um vetor normal ao plano. Para isso, vamos primeiro fazer os vetores paralelos.
- O plano é paralelo ao vetor e ao vetor , que representa o eixo .
- Vamos fazer a interseção dos planos:
- Vamos calcular o ângulo entre os ângulos, dado pela fórmula:
- Utilizando a sugestão, temos que:
Beleza, o vetor normal é perpendicular a esses dois, então podemos fazer o produto vetorial deles:
O plano então é:
Substituímos um dos pontos:
O plano então:
Simplificando:
Passo 2
Bora pro próximo item!
Agora vamos fazer o produto vetorial entre esses vetores para encontrarmos o vetor normal.
O plano então é da forma:
Substituindo um ponto:
O plano então é:
Passo 3
Vamos escalonar esse sistema:
O problema também fica:
Chamando , temos a reta:
Passo 4
Passo 5
O ângulo então é dado por:
Passo 6
O ponto então é:
Ufa! Acabamos! 😉
Resposta
- Esboço.