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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 7

Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

  • T : P 2 → P 2 , sendo

    • a   T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + a 1 ⋅ x + 1 + a 2 ⋅ x + 1 2

    b     T a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = a 0 + 1 + a 1 + 1 ⋅ x + a 2 + 1 ⋅ x 2  

    Passo 1

    Desejamos verificar se a transformação dada é uma transformação linear, mas aí fica o questionamento: o que é uma transformação linear?

    Pois bem, uma transformação linear é uma transformação que deve atender a dois requisitos que são:

  • Multiplicação por um escalar: T k u = k ⋅ T ( u ) , onde k é um escalar.
  • Linearidade: T u + v = T u + T v

Passo 1

Sendo assim, vamos testar tomar os seguintes polinômios genéricos

p x = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 ,     q x = b 0 + b 1 x + b 2 x 2

Testando a primeira condição para nossa primeira transformação vamos ter

T k p x = k a 0 + k a 1 ⋅ x + 1 + k a 2 ⋅ x + 1 2

T k p x = k ⋅ a 0 + a 1 ⋅ x + 1 + a 2 ⋅ x + 1 2 = k ⋅ T p x

Por enquanto estamos indo bem e nossa transformação atendeu ao princípio da homogeneidade, vamos ver agora a questão da linearidade fazendo

T p x + q x = T a 0 + b 0 + a 1 + b 1 ⋅ x + ( b 2 + a 2 ) ⋅ x 2  

T p x + q x = ( a 0 + b 0 )   + a 1 + b 1 ⋅ x + 1 + a 2 + b 2 ⋅ x + 1 2

T p x + q x = a 0 + a 1 ⋅ x + 1 + a 2 ⋅ x + 1 2 + b 0 + b 1 ⋅ x + 1 + b 2 ⋅ x + 1 2

T p x + q x = T p x + T q x

Portanto, essa nossa transformação é linear.

Passo 2

Fazendo o mesmo para nossa segunda transformação vamos ter

T k ⋅ p x = T k ⋅ a 0 + a 1 x + a 2 x 2 = k a 0 + 1 + k a 1 + 1 ⋅ x + k a 2 + 1 ⋅ x 2

É fácil perceber que o resultado da nossa transformação é diferente de k ⋅ T p x pois não dá pra colocar k em evidência e, assim, nossa primeira condição não é atendida o que nos indica que a transformação não é linear sem nem precisar testar a segunda condição.

Resposta

a   É   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

b   n ã o   é   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

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