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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 5

Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

  • T : M m n → M n m , sendo   F A = A T .

    • Passo 1

    Desejamos verificar se a transformação dada é uma transformação linear, mas aí fica o questionamento: o que é uma transformação linear?

    Pois bem, uma transformação linear é uma transformação que deve atender a dois requisitos que são:

  • Multiplicação por um escalar: T k u = k ⋅ T ( u ) , onde k é um escalar.
  • Linearidade: T u + v = T u + T v

Passo 1

Dadas as considerações acima vamos verificar se nossa transformação é linear ou não. Pois bem, para verificarmos a primeira condição vamos ter que lembrar que quando temos um escalar multiplicando uma matriz podemos retirar esse escalar e coloca-lo multiplicando a nossa matriz, dessa forma teremos

F k A = k A T = k ⋅ A T = k ⋅ F A

Além disso, temos a seguinte propriedade da matriz transposta

A + B T = A T + B T

Com B sendo uma matriz de mesma dimensão de A . Usaremos essa propriedade para avaliar a segunda condição que será dada por

F A + B = A + B T = A T + B T = F A + F B

Portanto, nossa transformação é linear.

Resposta

S i m ,   é   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

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