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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 3

Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

  • T : M 22 → M 23 , sendo B uma matriz 2 × 3 fixada e T A = A B .

    • Passo 1

    Desejamos verificar se a transformação dada é uma transformação linear, mas aí fica o questionamento: o que é uma transformação linear?

    Pois bem, uma transformação linear é uma transformação que deve atender a dois requisitos que são:

  • Multiplicação por um escalar: T k u = k ⋅ T ( u ) , onde k é um escalar.
  • Linearidade: T u + v = T u + T v

Passo 1

Dadas as considerações acima vamos verificar se nossa transformação é linear ou não. Testando a primeira condição e lembrando das propriedades de matrizes vamos ter que

T k A = k A ⋅ B = k ⋅ A B = k ⋅ T A

Portanto, nossa primeira condição foi atendida. Vamos verificar, agora, nossa segunda condição mas antes devemos nos lembrar que a multiplicação de matrizes ela atende à propriedade da distributividade, ou seja,

A + B ⋅ C = A C + B C

Dessa forma, vamos ter

T A 1 + A 2 = A 1 + A 2 ⋅ B = A 1 B + A 2 B = T A 1 + T A 2

Então, nossa transformação é uma transformação linear.

Resposta

S i m ,   é   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

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