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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 9.6 - Ex. 8

Nos Exercícios 5 – 8 , encontre uma expansão em valores singulares reduzida de A.

A matriz A do Exercício 4 .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Temos que:

A = 6 0 4       4 0 0

Temos que encontrar a expansão reduzida do valor singular da matriz fornecida. Primeiro calculamos a decomposição do valor singular da matriz fornecida. Para isso temos que calcular A T A :

A T A = 6 4       0 0       4 0 6 0 4       4 0 0

A T A = 52 24       24 16

Os auto valores de A T A são:

λ 1 = 64

λ 2 = 4

Como esses vetores são ortogonais, nós normalizamos para obter:

v 1 = 1 5 2 5

v 2 = - 2 5 1 5

Passo 2

Os valores singulares de A são:

σ 1 = λ 1 = 64 = 8

σ 2 = λ 2 = 4 = 2

Temos então que:

V = 1 5 2 5       - 2 5 1 5

Passo 3

Agora, para encontrar U , temos que calcular:

u 1 = 1 σ 1 A v 1

u 1 = 1 8 6 0 4       4 0 0 1 5 2 5

u 1 = 7 4 5 0 1 2 5

Temos também que:

u 2 = 1 σ 2 A v 2

u 2 = 1 2 6 0 4       4 0 0 - 2 5 1 5

u 2 = - 8 5 0 - 8 5

Temos também o vetor normalizado:

u 3 = 1 2 0 - 1 2

Passo 4

Esses vetores já formam uma base ortonormal para R 3 portanto:

U = 7 4 5 0 1 2 5     - 8 5 0 - 8 5       1 2 0 - 1 2

Portanto, a decomposição do valor singular de A é:

A = U ∑ V T

A = 7 4 5 0 1 2 5     - 8 5 0 - 8 5       1 2 0 - 1 2 8 0 0       0 2 0 1 5 - 2 5       2 5 1 5

Passo 5

Sabemos que a expansão de valor singular reduzido de uma matriz é:

A = u 1 σ 1 v 1 T + u 2 σ 2 v 2 T

Portanto, a expansão do valor singular da matriz fornecida é:

A = 8 7 4 5 0 1 2 5 1 5     2 5 + 2     - 4 5 0 - 4 5 - 2 5     1 5

Resposta

A = 8 7 4 5 0 1 2 5 1 5     2 5 + 2     - 4 5 0 - 4 5 - 2 5     1 5

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