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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 3.Exercícios Propostos - Ex. 24

Determine o maior ângulo formado pelas medianas relativas aos catetos de um triângulo retângulo isósceles.

Passo 1

Fala galera, tranquilo??

Como a questão pede o maior ângulo formado pelas medianas, o cosseno desse ângulo é negativo, já que o ângulo deve estar no segundo quadrante. Para encontrar o cosseno, precisamos do produto escalar entre os vetores das medianas e o módulo desses vetores.

Vamos chamar de a → e de b → os catetos e de c → e d → os vetores das medianas. Como a mediana divide o lado do triângulo em dois, temos:

c → = 1 2 b → - a →

d → = 1 2 a → - b →

Passo 2

Belezinha ;D

Agora vamos calcular o produto escalar:

c → ⋅ d → = ( 1 2 b → - a → ) ( 1 2 a → - b → )

= 1 4 a → ⋅ b → - 1 2   a → ⋅ a → - 1 2 b → ⋅ b → + b → ⋅ a →

= - 1 2 a → 2 - 1 2   b → 2 = - 1 2 a → 2 - 1 2 a → 2 = - a → 2

Passo 3

Show! Agora só falta o módulo:

d → 2 = 1 2 a → 2 + b → 2

d → = 5 2 | a → |

Agora, é só calcular o cosseno:

c o s c o s   α = ( c → ⋅ d → ) | c → | | d → | =   - a 2 5 a → ⋅ 5 | a → 2 ⋅ 2 = - 4 5  

Vamos pra próxima?

Resposta

c o s c o s   α = - 4 5  

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Determinar vec u . vec v + vec u . vec w + vec v . vec w , sabendo que vec u + vec v + vec w = 0 , |vec u| = 2 , |vec v| = 3 e |vec w| = sqrt(5) .
Sabendo que u → = 2 ,v → = 3 e que u → e v → formam um ângulo de 3 π 4r a d , determinar 2 u → - v → . u → - 2 v → .
Calcular o módulo dos vetores u → + v → e u → - v → , sabendo que u → = 4 , v → = 3 e o ângulo entre u → e v → é de 60 ° .
Se o vetor A B → tem co-senos diretores p ,q e r e ângulos diretores α ,β e γ , quais são os co-senos e os ângulos diretores de B A → ?
Mostrar que se u → e v → são vetores, tal que u → + v → é ortogonal a u → - v → , então u → = | v → | .