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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas Propostos - Ex. 35

Se o vetor A B → tem co-senos diretores p ,   q e r e ângulos diretores α ,   β e γ , quais são os co-senos e os ângulos diretores de B A → ?

Passo 1

Seja A B → = ( a ,   b ,   c ) e B A → = ( - a ,   - b ,   - c ) .

Seja ∅ o ângulo de B A → com x , θ seu ângulo com y e φ seu ângulo com z .

Sabemos que

c o s ψ = u → . v → u → . v →

Seja p o cosseno do ângulo de A B → com o eixo x , de vetor diretor ( 1 ,   0 ,   0 ) :

p = a ,   b ,   c . 1 ,   0 ,   0 a 2 + b 2 + c ²

p = a a 2 + b 2 + c ²

Agora vamos ver qual é o mesmo ângulo para B A → :

cos ⁡ ∅ = - a ,   - b ,   - c . 1 ,   0 ,   0 ( - a ) 2 + ( - b ) 2 + ( - c ) ²

cos ⁡ ∅ = - a a 2 + b 2 + c ²

Opa, percebeu que cos ⁡ ϕ = - p ? Logo, o primeiro cosseno diretor de B A → é - p .

O mesmo acontece para q e r , sendo os cossenos diretores de B A → (com os eixos y e z , respectivamente), - q e - r .

Passo 2

Agora vamos pensar uma coisa, quando invertemos o vetor, ficamos com os mesmos módulos de cossenos porém negativos certo? No círculo trigonométrico, isso representa estar no 1° quadrante e andar π radianos até o segundo quadrante, onde teremos o mesmo cosseno porém negativo.

Logo, nossos ângulos são

π - α

π - β

π - γ

Resposta

Cossenos: - p ,   - q ,   - r

Ângulos: π - α , π - β , π - γ

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