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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 12

Determine os planos que contém a reta

r :   x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0

E formam com o plano π 1 : x + z = 0 um ângulo de 60°.

Passo 1

Primeiro, podemos tirar dois vetores da reta r dada:

V 1 = ( 1 , - 2 ,   2 )

V 2 = ( 3 , - 5 ,   7 )

Como temos dois vetores relacionados a uma única reta, vamos calcular o produto vetorial entre eles para obtermos um único vetor final:

V → =   V 1 × V 2

V → = det i j k 1 - 2 2 3 - 5 7

Realizando a conta do determinante:

V → = -14i +6j - 5k + 6k - 7j + 10i

V → = -4i - 1j + 1k

Ou seja:

V → = ( - 4 ,   - 1 ,   1 )

Passo 2

Queremos que o plano contenha a reta, ou seja, o produto escalar do vetor normal do plano (N = a, b, c) e o vetor encontrado para a reta deve ser igual a zero:

N ∙ V → = 0

N ∙ V → = - 4 a - 1 b + c

Além disso, sabemos que o ângulo entre o plano desejado e o plano dado deve ser 60°, ou seja:

cos ⁡ 60 ° = N ∙ N 1 N N 1

Dado que N 1 = ( 1 ,   0 ,   1 ) :

N ∙ N 1 = a + c

N = a 2 + b 2 + c 2

N 1 = 1 2 + 0 2 + 1 2 = 2

Substituindo:

1 2 = a + c 2 a 2 + b 2 + c 2

Passo 3

Assumindo uma norma de 2 para o vetor normal do plano desejado:

N 2 = a 2 + b 2 + c 2 = 2

Substituindo na equação do ângulo:

1 2 = a + c 2 2 = a + c 2

a + c = 1

c = ± 1 - a

Substituindo agora no produto escalar N ∙ V → = - 4 a - 1 b + c = 0

b = c - 4 a

b = ± 1 - 5 a

Por fim, substituindo b e c na norma:

a 2 + ( ± 1 - a ) 2 + ( ± 1 - a ) 2 = 2

27 a 2 = 12 a

a = 0 ou a = ± 4 9

Para a = 0:

b = ± 1

c = ± 1

Para a = 4 9 :

b = - 11 9

c = 5 9

Dessa forma:

N = (0, 1, 1) ou N = ( 4 9 ,   - 11 9 ,   5 9 )

Resposta

Substituindo os valores de N encontrados, podemos dizer que os seguintes planos satisfazem o que foi pedido no problema:

y + z = 0

4x – 11y + 5z = 0

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