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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 17

Mostre que a distância de um ponto P_0 = ( x_0 , y_0 , z_0 ) a um plano pi : a x + b y + c z + d = 0 é

d i s t (P_0 , pi) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt(a^2 + b^2 + c^2))

Passo 1

Eaew, firme e forte? No ânimo para mais uma questãozinha?

Vamos lembrar aqui que para calcular a distância entre um ponto e um plano, temos que:

Sejam P_0 = ( x_0 , y_0 , z_0 ) um ponto qualquer e pi : a x + b y + c z + d = 0 um plano. A distância de P_0 a pi é dada por

d i s t (P_0 , pi) = ||p r o j_N vec P_1 P_0|| = (|vec P_1 P_0 * N|)/(||N||)

Em que N = ( a , b , c ) e P_1 = ( x_1 , y_1 , z_1 ) é um ponto de pi (isto é, um ponto que satisfaz a equação de pi ).

Vamos tentar utilizar tudo isso para resolver a questão! Bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que podemos fazer é identificar que temos um vetor normal N = ( a , b , c ) e sua norma é tal que:

||N|| = sqrt((a)^2 + (b)^2 + (c)^2)

Beleza, até aqui tudo bem! Agora, no entanto, precisamos de um ponto que pertença ao plano! Saca só como podemos achar ele!

Passo 3

Se colocarmos y = z = 0 , temos que

a x = - d -> x = - (d)/(a)

Portanto, um ponto que pertence ao plano é tal que:

P_1 = ( - (d)/(a) , 0,0 )

Agora vamos escrever o vetor vec P_1 P_0 !!

Passo 4

Temos que:

vec P_1 P_0 = (x_0 - x_1 , y_0 - y_1 , z_0 - z_1) = ( x_0 + (d)/(a) , y_0 , z_0 )

De forma, que:

vec P_1 P_0 * N = (x_0 + (d)/(a)) a + (y_0) b + (z_0) c = a x_0 + b y_0 + c z_0 + d

Ou seja, temos que:

d i s t (P_0 , pi) = (|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|)/(sqrt((a)^2 + (b)^2 + (c)^2))

Como queríamos demonstrar! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

Ao longo dos passos!

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